Au supermarché

Identification

Rallye: 23.F.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPD
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• GEN - Générer et tester des solutions (partielles) possibles

Remarque et suggestion

Résumé

Résoudre dans N l’équation 4,50a + 6b + 3,30c = 34,80 (a, b, c ≥ 1).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que madame Louise a acheté au moins un produit de chaque type, puis simplifier la recherche compte tenu qu’elle a payé 13,80 euros pour un paquet de riz, une bouteille d’huile et un paquet de biscottes.

- Chercher ensuite comment avec un ou plusieurs des trois produits, elle a pu dépenser les 21 € restant. Si elle avait acheté un produit de plus de chaque type, il resterait encore 7,20 € qui ne peuvent pas s’obtenir comme combinaison d’un ou plusieurs des trois prix.

- Supposer qu’elle a acheté seulement un paquet de riz ou une bouteille d’huile ou un paquet de biscottes et faire varier les quantités des deux autres produits de façon à atteindre 21 €. Par exemple, le prix d’un paquet de riz et d’une bouteille d’huile est 10,50 € ; le complément à 21 € ne peut pas être obtenu qu’avec des paquets de biscottes. Arriver à la conclusion qu’avec 34,80 euros, elle a pu acheter 3 paquets de riz, 3 bouteilles d’huile et un paquet de biscottes.

- Procéder de la même manière en effectuant des essais ordonnés pour chercher toutes les autres façons de dépenser 21 euros : un paquet de riz et 5 paquets de biscottes. Conclure que madame Louise a pu acheter 2 paquets de riz, une bouteille d’huile et 6 paquets de biscottes.

La même stratégie peut être utilisée en cherchant comme il est possible d’obtenir 34,80 comme combinaison linéaire des trois nombres (4,50 ; 6 ; 3,30), chaque nombre ou un de ses multiples devant être présent dans la somme.

Ou : partir du nombre maximum de bouteilles d’huile qu’il est possible d’acheter (4). Le prix 24 € ne permet pas de dépenser la somme restante (10,80 €) avec des paquets de riz et de biscottes (on peut acheter au maximum un paquet de riz, mais avec les 6,30 €, on ne peut acheter qu’un seul paquet de biscottes à 3,30 €).

- Essayer ensuite avec 3 bouteilles d’huile et trouver que l’unique possibilité de dépenser la somme restante 16,80 € est d’acheter 3 paquets de riz et un paquet de biscottes.

- Continuer en faisant l’hypothèse de l’achat de deux puis d’une seule bouteille d’huile.

Ou ; comprendre que le nombre de paquets de riz doit être inférieur à 6 (4,50 × 6 = 27,00), celui des bouteilles d’huile inférieur à 5 (6 × 5 = 30,00), celui des paquets de biscottes inférieur à 8 (3,30 × 8 = 26,40).

- Observer que le nombre 80 qui correspond à la partie décimale du prix payé peut être obtenu en ajoutant 50 et 30 ou 0 et 80. En déduire que le nombre de paquets de riz achetés peut être pair ou impair (les parties décimales du prix des paquets de riz sont alors respectivement 0 ou 50) et que le nombre de paquets de biscottes achetés ne peut être que 1 ou 6 de sorte que la partie décimale du prix des biscottes soit 30 ou 80.

- Ainsi madame Louise a pu acheter un paquet de biscottes et un nombre impair de paquets de riz ou 6 paquets de biscottes et un nombre pair de paquets de riz.

- Dresser la liste des différentes possibilités et calculer le prix des paquets de riz et de biscottes : 1 × 4,50 + 1× 3,30 = 7,80 ; 3 × 4,50 + 1×3,30 = 16,80 ; 5 × 4,50 + 1 × 3,30 = 25,80 ; 2 × 4,50 + 6 × 3,30 = 28,80 ; 4 × 4,50 + 6 × 3,30 = 37,80

- Ecarter le cas de 4 paquets de riz et 6 paquets de biscottes dont le prix dépasse le prix payé par madame Louise.

- Contrôler pour chacun des autres cas que la différence entre 34,80 et le prix du riz et des biscottes est un multiple de 6 :

• 34,80 − 7,80 = 27 ;
• 34,80 − 16,80 = 18 ;
• 34,80 − 25,80 = 9 ;
• 34,80 − 28,80 = 6

- Conclure qu’il n’y a que deux solutions : 3 paquets de riz, 3 bouteilles d’huile et un paquet de biscottes ou 2 paquets de riz, une bouteille d’huile et 6 paquets de biscottes.

Ou : procéder par essais successifs. Faire une hypothèse sur les nombres de paquets de riz, de bouteilles d’huile et de paquets de biscottes (supérieurs ou égaux à 1) et calculer le prix correspondant. Cette procédure ne garantit pas l’exhaustivité des solutions.

Notions mathématiques

nombre décimal, décomposition linéaire

Résultats

23.F.11

Points attribués, sur 162 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (3 riz, 3 huiles et 1 biscotte ou 2 riz, 1 huile et 6 biscottes) avec explications qui assurent l’exhaustivité des solutions
• 3 points: Réponse correcte (les deux solutions) avec utilisation d’une procédure qui n’assure pas l’exhaustivité des solutions mais avec vérification
• 2 points: Une seule des deux solutions avec vérification
  ou réponse correcte (les deux solutions) sans explications ni vérification
  ou une solution correcte et une autre solution erronée consécutive à une erreur de calcul, avec explications ou vérification
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple plusieurs essais qui tiennent compte des contraintes : au moins un article de chaque type et prix total devant être égal à 34,80 €)
  ou une ou deux solutions erronées consécutives à des erreurs de calcul
• 0 point: Incompréhension du problème

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