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Banque de problèmes du RMTal11-fr |
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Résoudre dans N l’équation 4,50a + 6b + 3,30c = 34,80 (a, b, c ≥ 1).
- Comprendre que madame Louise a acheté au moins un produit de chaque type, puis simplifier la recherche compte tenu qu’elle a payé 13,80 euros pour un paquet de riz, une bouteille d’huile et un paquet de biscottes.
- Chercher ensuite comment avec un ou plusieurs des trois produits, elle a pu dépenser les 21 € restant. Si elle avait acheté un produit de plus de chaque type, il resterait encore 7,20 € qui ne peuvent pas s’obtenir comme combinaison d’un ou plusieurs des trois prix.
- Supposer qu’elle a acheté seulement un paquet de riz ou une bouteille d’huile ou un paquet de biscottes et faire varier les quantités des deux autres produits de façon à atteindre 21 €. Par exemple, le prix d’un paquet de riz et d’une bouteille d’huile est 10,50 € ; le complément à 21 € ne peut pas être obtenu qu’avec des paquets de biscottes. Arriver à la conclusion qu’avec 34,80 euros, elle a pu acheter 3 paquets de riz, 3 bouteilles d’huile et un paquet de biscottes.
- Procéder de la même manière en effectuant des essais ordonnés pour chercher toutes les autres façons de dépenser 21 euros : un paquet de riz et 5 paquets de biscottes. Conclure que madame Louise a pu acheter 2 paquets de riz, une bouteille d’huile et 6 paquets de biscottes.
La même stratégie peut être utilisée en cherchant comme il est possible d’obtenir 34,80 comme combinaison linéaire des trois nombres (4,50 ; 6 ; 3,30), chaque nombre ou un de ses multiples devant être présent dans la somme.
Ou : partir du nombre maximum de bouteilles d’huile qu’il est possible d’acheter (4). Le prix 24 € ne permet pas de dépenser la somme restante (10,80 €) avec des paquets de riz et de biscottes (on peut acheter au maximum un paquet de riz, mais avec les 6,30 €, on ne peut acheter qu’un seul paquet de biscottes à 3,30 €).
- Essayer ensuite avec 3 bouteilles d’huile et trouver que l’unique possibilité de dépenser la somme restante 16,80 € est d’acheter 3 paquets de riz et un paquet de biscottes.
- Continuer en faisant l’hypothèse de l’achat de deux puis d’une seule bouteille d’huile.
Ou ; comprendre que le nombre de paquets de riz doit être inférieur à 6 (4,50 × 6 = 27,00), celui des bouteilles d’huile inférieur à 5 (6 × 5 = 30,00), celui des paquets de biscottes inférieur à 8 (3,30 × 8 = 26,40).
- Observer que le nombre 80 qui correspond à la partie décimale du prix payé peut être obtenu en ajoutant 50 et 30 ou 0 et 80. En déduire que le nombre de paquets de riz achetés peut être pair ou impair (les parties décimales du prix des paquets de riz sont alors respectivement 0 ou 50) et que le nombre de paquets de biscottes achetés ne peut être que 1 ou 6 de sorte que la partie décimale du prix des biscottes soit 30 ou 80.
- Ainsi madame Louise a pu acheter un paquet de biscottes et un nombre impair de paquets de riz ou 6 paquets de biscottes et un nombre pair de paquets de riz.
- Dresser la liste des différentes possibilités et calculer le prix des paquets de riz et de biscottes : 1 × 4,50 + 1× 3,30 = 7,80 ; 3 × 4,50 + 1×3,30 = 16,80 ; 5 × 4,50 + 1 × 3,30 = 25,80 ; 2 × 4,50 + 6 × 3,30 = 28,80 ; 4 × 4,50 + 6 × 3,30 = 37,80
- Ecarter le cas de 4 paquets de riz et 6 paquets de biscottes dont le prix dépasse le prix payé par madame Louise.
- Contrôler pour chacun des autres cas que la différence entre 34,80 et le prix du riz et des biscottes est un multiple de 6 :
- Conclure qu’il n’y a que deux solutions : 3 paquets de riz, 3 bouteilles d’huile et un paquet de biscottes ou 2 paquets de riz, une bouteille d’huile et 6 paquets de biscottes.
Ou : procéder par essais successifs. Faire une hypothèse sur les nombres de paquets de riz, de bouteilles d’huile et de paquets de biscottes (supérieurs ou égaux à 1) et calculer le prix correspondant. Cette procédure ne garantit pas l’exhaustivité des solutions.
nombre décimal, décomposition linéaire
Points attribués, sur 162 classes de 20 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 6 | 3 (5%) | 2 (4%) | 38 (67%) | 10 (18%) | 4 (7%) | 57 | 2.18 |
Cat 7 | 0 (0%) | 1 (2%) | 30 (56%) | 9 (17%) | 14 (26%) | 54 | 2.67 |
Cat 8 | 1 (2%) | 1 (2%) | 31 (61%) | 8 (16%) | 10 (20%) | 51 | 2.49 |
Total | 4 (2%) | 4 (2%) | 99 (61%) | 27 (17%) | 28 (17%) | 162 | 2.44 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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