Éclairs au chocolat

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Rallye: 21.I.10 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: AL, OPN
Famille:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver un nombre naturel tel que "le quintuple de ce nombre augmenté de 4 est égal au nombre augmenté de 20 puis doublé".

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Se représenter la situation pour les différents jours de la semaine avec une « quantité » quotidienne, les deux « suppléments » de 20 du samedi et dimanche, les « 4 de plus » et la relation d’égalité.

On peut penser à des « paquets » pour la quantité quotidienne, ou utiliser une représentation graphique de la situation évoquant les plateaux d’une balance en prenant garde à placer le « 4 » dans le bon plateau, par exemple :

cette représentation, mentale ou graphique, suggère une simplification de la relation en « retirant » 2 « quantités » quotidienne et 4 de chaque membre de l’égalité pour arriver à l’équivalence de 3 « quantités » quotidiennes et de 36.

- En déduire que, chaque jour ouvrable de la semaine (lundi à vendredi), sont livrés 12 (36 : 3) éclairs, et le week-end (samedi et dimanche) 32 éclairs (12 + 20).

Ou: procéder par essais organisés en imposant un nombre d’éclairs livrés du lundi au vendredi et vérifier si les autres conditions sont remplies, sinon ajuster progressivement les valeurs.

Par exemple, avec 10 on obtient 50 et 60, avec 20 : 100 et 80, avec 15 : 75 et 70 (on s’approche), et finalement avec 12, on obtient 60 et 64 correspondant au « 4 de plus » pour le week-end.

Ou, par voie algébrique, en désignant par x le nombre d’éclairs livrés chaque jour ouvrable par x + 20 ceux livrés le week-end, on aboutit à une équation 5x + 4 = 2(x + 20) ou 5x = 2(x + 20) − 4 ou dont la solution est 12 (nombre d’éclairs livrés du lundi au vendredi) et calculer le nombre d’éclairs livrés un jour du week-end 32 = 12 + 20.

Notions mathématiques

arithmétique, algèbre, addition, multiplication distributivité, égalité compensation, équivalence

Résultats

21.I.10

Points attribués, sur 2325 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (32 éclairs le samedi et dimanche, 12 éclairs les autres jours) avec des explications claires (par exemple, détail des calculs)
• 3 points: Réponses correctes avec des explications peu claires ou seulement avec une vérification
• 2 points: Réponses correctes sans aucune explication
  ou une erreur de calcul pour l’une des deux réponses
• 1 point: Début de raisonnement correct
  ou une erreur dans l’écriture de l’équation due à l’incompréhension de l’expression «  4 de plus que » 
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ici aussi, on n’imaginait pas que ce problème ne pouvait pas être résolu dans les conditions de passation du RMT (sans aide extérieure ou sans mise en commun intermédiaire organisée par le maître.

L’échec est quasi total en catégories 6 et 7, et c’est seulement en catégorie 8 qu’une minorité des classes trouvent la solution.

Comme pour le problème précédent, les difficultés du problème semblent avoir été sous-estimées et les obstacles non perçus a priori.

Une belle analyse a posteriori en perspective lors de l’examen de copies d’élèves :

• le recours aux équations a-t-il été effectif, et efficace, en catégorie 8 ?
• l’expression « jour de la semaine » dans la question a-t-elle constitué un obstacle ?
• quelles sont les phrases de l’énoncé qui ont été mal interprétées ?
• y a-t-il des procédures par essais, pourquoi n’ont-elles pas fonctionné ?
• y a t-il des schémas ou dessins (comme dans l'analyse a priori) ?

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