Banque de problèmes du RMT
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Trouver x et y tels que 13x + 14y = 479 avec x et y naturels Ou trouver les deux multiples naturels, l’un de 13, l’autre de 14, dont la somme est 479.
- La première tâche est de comprendre que le résultat demandé est la somme d’un multiple de 13 (du premier au 31e) et d’un multiple de 14 (du premier au 12e ).
Pour bien comprendre la correspondance entre les dates et les sommes (et éventuellement s’assurer que deux dates de naissance différentes donnent deux résultats différents, et réciproquement), on peut imaginer les calculs de quelques dates, par exemple celles des premiers jours de l’année : 1 janvier 13 + 14 = 27; 2 janvier 2 x 13 + 14 = 40 ; 1 février 13 + 2 x 14 = 41 …
en notant ces essais dans un tableau, on peut en découvrir les régularités : en janvier, des nombres qui valent 1 de plus qu’un multiple de 13, des suites de nombres entiers consécutifs en se déplaçant « en oblique » vers le bas et vers la gauche,
jours 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 20 … 30 31 janvier (1) 27 40 53 66 79 92 105 118 131 144 … 274 404 417 février (2) 41 54 67 80 93 106 119 132 145 158 … 288 mars (3) 55 68 81 94 107 120 133 146 158 172 … 302 432 445
Ce tableau permet déjà de constater que 479 est au-delà du mois de mai car le 31 mai donne 445 + 2 14 = 473. (On pourrait même y voir que 479 est à 6 « pas » de 473 : 6 lignes vers le bas et 6 colonne vers la gauche, le 25 novembre).
Ou : soustraire de 479 des multiples de 14 (du 1 jusqu’au 12e pour les mois) et diviser le résultat par 13 jusqu’à ce que l’on obtienne un nombre entier compris entre 1 et 31.
(479 – 1 x 14) : 13 = 35,77 … (479 – 10 x 14) : 13 = 26,08 (479 – 11 x 14) : 13 = 25 (479 – 12 x 14) : 13 = 23,92
Donc la date de naissance de l’ami de Michèle est le 25 novembre.
Ou, par une méthode plus générique, comprendre que le résultat final est une expression du type : 479 = 13j + 14m (j = jour de naissance; m = mois de naissance)
- En déduire la factorisation suivante :
479 = 13j + 13m + m = 13(j + m) + m,
constater que le mois de naissance (m) est le reste de la division euclidienne du résultat final 479 par 13 :
479 = 36 x 13 + 11, et que le mois de naissance est donc novembre, 11e mois de l’année.
- en déduire le jour de naissance en résolvant l’équation suivante :
479 = j x 13 + 11 x 14 d’où j = 25 (ou par soustraction et division par 13 comme dans la première des procédures ci-dessus)
arithmétique, multiples, somme, reste, division euclidienne, algèbre
Points attribués, sur 842 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 84 (14%) | 14 (2%) | 45 (7%) | 165 (27%) | 300 (49%) | 608 | 2.96 |
| Cat 9 | 20 (16%) | 4 (3%) | 6 (5%) | 37 (29%) | 61 (48%) | 128 | 2.9 |
| Cat 10 | 13 (12%) | 3 (3%) | 10 (9%) | 35 (33%) | 45 (42%) | 106 | 2.91 |
| Total | 117 (14%) | 21 (2%) | 61 (7%) | 237 (28%) | 406 (48%) | 842 | 2.94 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Moyennes élevées, la réponse correcte est trouvée par une grande majorité des classes mais, paradoxalement, on ne peut qu’avoir des doutes sur la « compréhension du problème ».
il vaut donc la peine d’examiner les copies pour savoir si les groupes ont trouvé la solution en « passant à côté » de la division euclidienne qui donne la clé du problème.
C’est l’observation des procédures qui déterminera le placement du problème dans le domaine OP ou ALG, ou encore dans les deux.
(c) ARMT, 2013-2024