Dîner aux chandelles (II)

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Rallye: 21.I.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: AL, OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DCP - Décomposer un nombre naturel

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Résumé

Trouver la décomposition de 100 en somme de 25 termes : 4 termes « 2 » et 21 autres termes « 4 » ou « 5 », dans un contexte de chandeliers et bougies. Ou résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues: 100 = 8 + 4a + 5b et a + b = 21.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Tirer les données numériques de l’énoncé : 100 bougies réparties sur 25 chandeliers à 2 à 4 ou à 5 bougies chacun; dont 4 chandeliers à 2 bougies.

- Simplifier la situation sans les 4 chandeliers à 2 bougies pour arriver à : 92 bougies réparties sur 21 chandeliers à 4 ou à 5 bougies.

- Se représenter les données précédentes par des égalités du genre :

• une addition de 21 termes « 4 et « 5 » : 92 = 4 + 4 + … + 5 + 5 + 5 + …
• ou par une addition de 21 multiples de 4 et de 5 encore lacunaire 92 = ( ? x 4) + ( ? x 5)
• ou, algébriquement, par un système de deux équations : 92 = 4x + 5y et x + y = 21

Il y a de multiples manières de trouver la solution par voie arithmétique :

• par essais successifs qui s’organisent de manière de plus en plus efficace lors de la recherche (par exemple, le nombre de chandeliers à 5 bougies est inférieur à 18, c’est un nombre pair, …)
• par des listes où les deux nombres de chandeliers varient simultanément, du genre :,

    * (10 x 4) + (11 x 5) = 40 + 77 = 95
    * (11 x 4)+ (10 x 5) = 44 +  50 = 94
    * (12 x 4) + (9 x 5) = 48 +  45 = 93
    * (13 x 4) + (8 x 5) = 52 +  40 = 92
 Par voie algébrique, la solution du système linéaire de deux équations à deux inconnues donne x = 13 et y = 8

Notions mathématiques

arithmétique, addition, multiples, combinatoire, algèbre, système d’équations, premier degré

Résultats

21.I.16

Points attribués, sur 842 classes de 21 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	104 (17%)	73 (12%)	115 (19%)	198 (33%)	118 (19%)	608	2.25
Cat 9	15 (12%)	11 (9%)	35 (27%)	36 (28%)	31 (24%)	128	2.45
Cat 10	13 (12%)	5 (5%)	24 (23%)	16 (15%)	48 (45%)	106	2.76
Total	132 (16%)	89 (11%)	174 (21%)	250 (30%)	197 (23%)	842	2.35
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (13 chandeliers à 4 bougies et 8 à 5 bougies) avec explications claires (où l’unicité de la solution apparaît clairement en cas de résolution arithmétique)
• 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou avec seulement une vérification
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul mais avec un raisonnement correct
  ou système des deux équations correct, sans arriver à la solution
  ou réponse correcte sans explication
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les moyennes de points sont stables et les « 3 » et « 4 » témoignent d’une majorité de réponses correctes à observer lors de l’analyse des copies :

• les fréquences relatives des procédures arithmétiques et algébriques

C’est l’observation des procédures qui déterminera le placement du problème dans le domaine OP ou ALG