Dîner aux chandelles (II)
Identification
Rallye:
21.I.16 ; catégories:
8, 9, 10 ; domaines:
AL,
OPNFamilles:
Remarque et suggestion
Résumé
Trouver la décomposition de 100 en somme de 25 termes : 4 termes « 2 » et 21 autres termes « 4 » ou « 5 », dans un contexte de chandeliers et bougies. Ou résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues: 100 = 8 + 4a + 5b et a + b = 21.
Enoncé
Tâche de résolution et savoirs mobilisés
- Tirer les données numériques de l’énoncé : 100 bougies réparties sur 25 chandeliers à 2 à 4 ou à 5 bougies chacun; dont 4 chandeliers à 2 bougies.
- Simplifier la situation sans les 4 chandeliers à 2 bougies pour arriver à : 92 bougies réparties sur 21 chandeliers à 4 ou à 5 bougies.
- Se représenter les données précédentes par des égalités du genre :
- une addition de 21 termes « 4 et « 5 » : 92 = 4 + 4 + … + 5 + 5 + 5 + …
- ou par une addition de 21 multiples de 4 et de 5 encore lacunaire 92 = ( ? x 4) + ( ? x 5)
- ou, algébriquement, par un système de deux équations : 92 = 4x + 5y et x + y = 21
Il y a de multiples manières de trouver la solution par voie arithmétique :
- par essais successifs qui s’organisent de manière de plus en plus efficace lors de la recherche (par exemple, le nombre de chandeliers à 5 bougies est inférieur à 18, c’est un nombre pair, …)
- par des listes où les deux nombres de chandeliers varient simultanément, du genre :,
* (10 x 4) + (11 x 5) = 40 + 77 = 95
* (11 x 4)+ (10 x 5) = 44 + 50 = 94
* (12 x 4) + (9 x 5) = 48 + 45 = 93
* (13 x 4) + (8 x 5) = 52 + 40 = 92
Par voie algébrique, la solution du système linéaire de deux équations à deux inconnues donne x = 13 et y = 8Notions mathématiques
arithmétique, addition, multiples, combinatoire, algèbre, système d’équations, premier degré
Résultats
21.I.16
Points attribués, sur 842 classes de 21 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|
Cat 8 | 104 (17%) | 73 (12%) | 115 (19%) | 198 (33%) | 118 (19%) | 608 | 2.25 |
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Cat 9 | 15 (12%) | 11 (9%) | 35 (27%) | 36 (28%) | 31 (24%) | 128 | 2.45 |
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Cat 10 | 13 (12%) | 5 (5%) | 24 (23%) | 16 (15%) | 48 (45%) | 106 | 2.76 |
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Total | 132 (16%) | 89 (11%) | 174 (21%) | 250 (30%) | 197 (23%) | 842 | 2.35 |
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Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
- 4 points: Réponse correcte (13 chandeliers à 4 bougies et 8 à 5 bougies) avec explications claires (où l’unicité de la solution apparaît clairement en cas de résolution arithmétique)
- 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou avec seulement une vérification
- 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul mais avec un raisonnement correct
ou système des deux équations correct, sans arriver à la solution
ou réponse correcte sans explication - 1 point: Début de raisonnement correct
- 0 point: Incompréhension du problème
Procédures, obstacles et erreurs relevés
Les moyennes de points sont stables et les « 3 » et « 4 » témoignent d’une majorité de réponses correctes
à observer lors de l’analyse des copies :
- les fréquences relatives des procédures arithmétiques et algébriques
C’est l’observation des procédures qui déterminera le placement du problème dans le domaine OP ou ALG
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