Banque de problèmes du RMT
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Dans une situation de répartition de primes, proportionnelles à 150 et 62 billets billets vendus, sous forme d’un montant en euros et de billets, trouver la prime par billet vendu et le prix de vente d’un billet, sachant que pour 150 billets vendus on reçoit 75 euros et 5 objets et pour 62 billets vendus, 34 euros et 2 billets.
- Comprendre que les billets vendus et les billets gratuits (donnés en prime) ont la même valeur.
- Reconnaître la proportionnalité directe entre le nombre de billets vendus et le montant de la prime reçue.
- Trouver une égalité de rapports du genre: (5 billets + 75) : 150 = (2 billets + 34) : 62 et résoudre cette égalité comme une équation du premier degré, ou en utilisant la propriété des proportions, ou par essais.
Ainsi le prix de vente d'un billet est de 45 euros et l’on peut calculer le montant de la prime pour chaque billet vendu en remplaçant les 45 euros soit dans le membre de gauche (5 x 45 + 75) : 150, soit dans le membre de droite (2 x 45 + 34) : 62 de l'égalité précédente pour trouver que la prime est de 2 euros par billet vendu.
Ou, se rendre compte que le nombre de billets vendus par Giovanna et la prime qu'elle reçoit sont des multiples de 5. De la même façon constater que le nombre de billets vendus par Aldo et la prime qu'il reçoit sont des multiples de 2.
En déduire par exemple que Giovanna reçoit pour 30 (= 150 : 5) billets vendus 1 billet gratuit et 15 euros, pour 60 billets vendus 2 gratuits et 30 euros ; si pour 62 billets vendus Aldo reçoit 2 billets gratuits et 34 euros, on en déduit que 2 billets vendus donnent droit à 4 euros et que 1 billet vendu donne une prime de 2 euros ...
Ou, introduire des inconnues, par exemple x pour la prime reçue par billet vendu et y pour le prix de vente d'un billet.
- Comprendre que la prime reçue par Giovanna se calcule, en euros, 150x et qu'elle perçoit cette somme sous la forme de 5y + 75.
- Ainsi on obtient l'équation 150x = 5y + 75.
- De la même façon, on trouve l'équation pour la prime d'Aldo : 62x = 2y + 34.
- En résolvant ce système linéaire de deux équations à deux inconnues, on trouve x = 2 et y = 45.
arithmétique, addition, multiplication rapport, proportionnalité, algèbre, système d’équations, premier degré
Points attribués sur 226 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 103 (85%) | 4 (3%) | 3 (2%) | 3 (2%) | 8 (7%) | 121 | 0.42 |
| Cat 10 | 66 (63%) | 10 (10%) | 4 (4%) | 5 (5%) | 20 (19%) | 105 | 1.08 |
| Total | 169 (75%) | 14 (6%) | 7 (3%) | 8 (4%) | 28 (12%) | 226 | 0.73 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Un très faible pourcentage d’élèves trouve les réponses correctes, avec une légère progression de la catégorie 9 à la catégorie 10, (mais sur un nombre limité de classes et sans connaître leurs orientations scientifiques ou techniques).
Les procédures algébriques sont peu fréquentes selon nos recherches précédentes, Y en a-t-il pour ce problème.
Les procédures arithmétiques sont complexes (voir analyse a priori) et les essais ne sont pas évidents à organiser. C’est sans doute la cause des nombreux échecs et des blocages ?? (75%)
Manifestement, le problème ne peut pas être résolu dans les conditions de passation du RMT. Des mises en commun sont vraisemblablement nécessaires pour l’appropriation.
(c) ARMT, 2013-2024