Banca di problemi del RMT
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Per esempio, cronologicamente:
- un sacchetto con un numero sconosciuto di caramelle;
- suddivisione del contenuto in tre parti uguali (ciascuna è un terzo del numero iniziale, quindi questo numero iniziale è un multiplo di 3);
- diminuzione in ciascuna parte di 14 caramelle già mangiate, che porta a tre resti uguali (le singole parti hanno quindi un numero di caramelle maggiore di 14, pertanto il numero iniziale di caramelle è superiore a 42, essendo 42 il totale di quelle mangiate);
- l’insieme dei tre resti uguali è uguale ad una delle parti originarie, ovvero ciascuno dei resti è un terzo della parte originaria. Il compito essenziale è quello di cogliere questo sistema di relazioni e farle proprie, per arrivare a rispondere alla domanda sul numero iniziale di caramelle nel sacchetto.
Sono possibili più strategie, fra le quali la più attesa è quella di procedere per tentativi a partire dal numero di caramelle iniziale. Questi tentativi permetteranno di appropriarsi delle relazioni, di verificare le soluzioni, di vedere se ci si avvicina o se ci si allontana dallo scopo (con una prima idea di variazione) e di organizzare la ricerca.
Un altro metodo più generale è immaginare, o rappresentare con uno schema, le differenti quantità in gioco. Per esempio, in questa rappresentazione, si “vede“ che:
- 14 corrisponde a due resti,
- un resto corrisponde a 7 caramelle,
- una parte è 21 caramelle,
- il sacchetto contiene inizialmente 63 caramelle.
Una procedura (che si potrebbe chiamare pre-algebrica) consiste nel concepire mentalmente le relazioni espresse dallo schema precedente: il numero iniziale sconosciuto di caramelle che ogni bambino ha ricevuto può essere espresso come la somma dei tre “resti” uguali o come somma di uno di tali “resti” e di 14. Dall’uguaglianza delle due espressioni, dedurre allora che due “resti” corrispondono a 14 caramelle e che quindi la quantità iniziale di ciascun bambino è di 21 caramelle.
Le operazioni che intervengono sono molto semplici: addizioni, divisioni e moltiplicazioni per 2 e per 3. È invece nell’ambito delle relazioni che i saperi necessari sono di un livello più elevato: relazioni, uguaglianze, sostituzioni, rappresentazioni mentali di strutture di relazioni tra più grandezze, rappresentazioni con uno schema, progettazione di tentativi per variazioni organizzate.
Addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, distributività, uguaglianza, equazione
Punteggi attribuiti su 480 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 71 (31%) | 40 (18%) | 26 (12%) | 41 (18%) | 48 (21%) | 226 | 1.8 |
| Cat 6 | 93 (37%) | 46 (18%) | 26 (10%) | 68 (27%) | 21 (8%) | 254 | 1.52 |
| Totale | 164 (34%) | 86 (18%) | 52 (11%) | 109 (23%) | 69 (14%) | 480 | 1.65 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Si rileva, in particolare, incomprensione del problema o inizio corretto di ragionamento nel 52% del totale degli elaborati, dato questo che mostra un’evidente difficoltà nel gestire il compito da parte degli allievi. Inoltre, come spesso accade nel passaggio dalla cat. 5 alla cat. 6, anche per questo problema la media dei punteggi si abbassa, pur se di poco. A questo si aggiunge però una netta diminuzione della percentuale di coloro che danno la risposta corretta e sanno giustificare in modo chiaro il procedimento (4 punti: dal 21% di cat. 5 all’8% di cat. 6).
Le osservazioni che seguono derivano dall’analisi a posteriori di 206 elaborati delle sezioni di Siena, Parma e Puglia. La strategia seguita è per lo più di tipo aritmetico, per tentativi (90%). C’è chi procede nei tentativi in modo sistematico, provando prima con 15 (14+1) caramelle date ad ogni bambino, poi con 16 (14+2), 17 (14+3), … fino a scoprire, effettuando ogni volta i calcoli, che con 21 (14+7) caramelle, il numero complessivo delle caramelle rimaste (7×3) è proprio uguale al numero delle caramelle ricevute da ogni bambino al momento della spartizione. C’è chi prova con alcuni numeri maggiori di 14 e poi si regola per i tentativi successivi sulla base dei risultati dei calcoli ottenuti. Sono spesso presenti tabelle o schemi che tengano conto dei tentativi fatti.
Una strategia sempre per tentativi, ma semplificata, tiene conto del fatto che il numero delle caramelle distribuite ad ogni bambino deve essere maggiore di 14 e divisibile per 3 (poiché è il triplo del numero di tutte le caramelle che restano) o, equivalentemente, che il numero di caramelle del sacchetto deve essere maggiore di 42 (14x3) e divisibile per 3 (le caramelle sono equamente distribuite tra i tre bambini). Nel primo caso , ci si limita quindi alla successione dei numeri 15, 18, 21, 24, ... mentre nel secondo caso , si considera la successione dei numeri 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63…
In pochi casi è presente la strategia che fa ricorso al concetto di frazione e che risulta non solo efficace, ma anche matematicamente “elegante” per la semplicità con cui si arriva alla soluzione. Le caramelle rimaste ad ogni bambino sono “viste” come 1/3 di quelle ricevute e, di conseguenza, le 14 mangiate come 2/3 del totale, oppure tutte le caramelle rimaste si “vedono” complessivamente come 1/3 del totale, e quindi le 42 mangiate come i restanti 2/3 [“Abbiamo calcolato che 42 comprendeva i 2/3 delle caramelle totali, quindi abbiamo espresso il valore di 3/3 ottenendo le caramelle totali, cioè 63” (cat. 6)].
In alcuni elaborati di cat. 6 si può riconoscere l’uso di una strategia di tipo algebrico poiché si introduce esplicitamente un simbolo (quadratino o lettera) per indicare il dato incognito e si traduce la frase-chiave del testo “rimettendo insieme tutte le caramelle rimaste, il totale è uguale al numero di caramelle che ogni bambino aveva ricevuto al momento della spartizione” con una scrittura simbolica, più o meno formalizzata, che di fatto è un’equazione. Lavorando su tale rappresentazione, gli allievi arrivano alla soluzione dopo aver applicato correttamente, anche se in modo inconsapevole, i principi di equivalenza. In alcuni protocolli la “frase-chiave” è espressa nel linguaggio naturale, senza utilizzo di simboli (“Abbiamo cercato un numero che, meno 14, dava un numero che moltiplicato per 3 dava un numero uguale al primo” (cat. 6)).
Nella maggior parte degli elaborati in cui invece c’è stata incomprensione del problema (punteggio 0), dopo aver determinato il numero totale delle caramelle mangiate (42=14x3) si procede con calcoli successivi di cui gli allievi non controllano il significato (si aggiunge o toglie 14, si aggiunge o toglie 42, si moltiplica o divide per 3, …). In altri elaborati, invece, è evidente l’errore derivante dal considerare che “il numero delle caramelle rimaste è uguale al numero delle caramelle che ha preso ciascuno”, che porta alla procedura: 14x3= 42 e 42+14 = 56, numero di caramelle del sacchetto.
Questo tipo di errori può portare ad ipotizzare di essere di fronte ad un ostacolo di tipo procedurale: gli allievi pensano di dover seguire una procedura aritmetica (partire dai dati noti e mediante una sequenza organizzata di operazioni arrivare al risultato), mentre la natura del problema richiede un ragionamento che è proprio della risoluzione algebrica (accettare un valore incognito, ricostruire le relazioni indicate dal problema in forma di uguaglianza tra dati noti e no, lavorare sull’uguaglianza per determinare il valore incognito) e ciò può rendere difficile gestire anche un procedimento per tentativi.
1. “Abbiamo iniziato cercando tutti i numeri divisibili per 3 (perché i bambini erano 3) cioè 15, 18 e 21 (non siamo andati oltre il 21 perché tornava troppo) 15-14=1, ma 1x3=3 e quindi non tornava,18-4=4, ma 4x3=12 e quindi non tornava. Poi abbiamo fatto 21-14 =7 e 7x3=21 e tornava!! (perché 63:3=21)”(cat. 5)
2. “All’inizio abbiamo calcolato quante caramelle hanno mangiato in tutto i 3 bimbi, cioè 14x3=42. Dopo siamo andati per tentativi cercando un numero divisibile per 3, maggiore di 42 … Siamo arrivati al 63…” (cat. 6)
Dopo una fase di ricerca autonoma per gruppi, l’insegnante giudicherà se è necessario organizzare una prima messa in comune riguardante l’interpretazione del testo, nel caso in cui abbia constatato che alcuni allievi hanno male interpretato certi termini o certe frasi del testo.
Non è opportuno intervenire troppo presto, cioè prima che gli allievi abbiano pensato da soli ad organizzare tentativi e a verificarli. Sarà solo durante una seconda messa in comune che le procedure utilizzate potranno essere comunicate, spiegate e discusse.
Un aspetto interessante è il riferimento alle frazioni, un terzo e due terzi, che nella risoluzione del problema compaiono naturalmente per coloro che vanno, al di là dei tentativi, verso una soluzione generale.
Un’altra utilizzazione didattica del problema è l’aspetto dinamico dell’organizzazione dei tentativi. L’allievo vi può percepire la dipendenza di due grandezze come i resti e il numero totale di caramelle, delle variazioni dell’una quando si modifica l’altra (del tipo “diminuisce”, “aumenta”, “ci avviciniamo”, ...). Queste variazioni e dipendenze prefigurano la nozione di “variabile” che sarà, più avanti, molto utile per il concetto di funzione.
La rappresentazione dei tentativi con schemi o tabelle che rendono conto dei fatti rilevati (come segnalato nella rubrica precedente) è anche un buon approccio ad una organizzazione di tipo “funzionale”, purché provenga dagli alunni e non sia proposta dall’insegnante.
Nel caso in cui il problema sia proposto in classi di categorie 7 ed 8, può risultare interessante per un approccio all’idea di equazione. La sua struttura, infatti, come anche l’analisi a posteriori ha rilevato, spinge all’uso di lettere o altri simboli per rappresentare i dati incogniti e a tradurre le condizioni del problema in un’uguaglianza tra le due espressioni algebriche che rappresentano la stessa quantità, cioè con un’equazione.
Didatticamente, presentare in classe un problema di questo tipo, prima di un lavoro istituzionalizzato sulle equazioni, permette agli allievi di lavorare in un contesto in cui essi possono esplicitare ragionamenti che andranno a preparare le procedure algebriche: con una scelta autonoma e “sensata” del simbolismo, si è in grado di rappresentare la situazione in una forma utile per la comprensione del problema e spesso si è capaci di lavorare su di essa per ottenere la soluzione. Sono state condotte a riguardo alcune sperimentazioni in classi di cat. 7 e 8 per le quali si rimanda agli articoli Doretti et all., 2007, 2008, 2009.
In categoria 9, il problema può servire a valutare la familiarità degli allievi sul ricorso alle equazioni come metodo di risoluzione. È importante, per avere informazioni attendibili, che gli allievi siano lasciati liberi di affrontare il problema con gli strumenti e le strategie che ritengono più opportune. Successivamente, sarà proprio la fase di condivisione e di discussione in classe che permetterà di evidenziare le caratteristiche delle procedure seguite, aritmetiche o algebriche, e di confrontarle tra loro.
Doretti, L., Medici, D., Rinaldi, M. G., Salomone, L.: 2008, ‘Costruzione del concetto di equazione: un possibile percorso con i problemi del RMT’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, G. Bellò, R. Fassy, G. Telatin (Eds.) RMT fra pratica e ricerca in didattica della matematica, Vol. 7, Centro Risorse per la Didattica della Matematica, Sezione della Valle d’Aosta dell’ARMT, ARMT.
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