Banque de problèmes du RMT
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Déterminer combien de fois un mobile, faisant des allers et retours d'un point A à un point B, passe par B en se déplaçant sur un parcours défini sur des côtés de trapèzes égaux, étant donnés la vitesse, le temps et des relations entre les longueurs des côtés des trapèzes.
Analyse a priori
- Comprendre que le robot pour parcourir des segments de même longueur, fera le même nombre de pas, car ses pas ont toujours la même longueur.
- Remarquer que la vitesse du robot (3 secondes pour chaque pas) et le temps pendant lequel le robot est en mouvement (10 heures) sont connus.
- Observer que le parcours entre A et B mis en évidence sur la figure 2 emprunte des côtés obliques et des bases des trapèzes isocèles.
- Comprendre qu'il faut déterminer la longueur en nombre de pas pour aller de A à B et qu’il faut pour cela exploiter les relations données entre les nombres de pas nécessaires pour parcourir les côtés des trapèzes, ainsi que la donnée sur le nombre de pas (52) effectués entre les points C et D du parcours indiqué.
- Il y a plusieurs manières de procéder. Remarquer que la longueur CD est composée de deux grandes bases et deux petites bases d’un trapèze. Comme une grande base vaut 9 pas de plus qu’un côté oblique qui vaut 4 pas de moins que deux petites base, une grande base vaut deux petites bases plus 5 pas. La longueur CD fait 52 pas et vaut donc deux petites bases plus deux fois deux petites bases plus 5 pas, soit 6 petites bases plus 10 pas. On en déduit qu’une petite base vaut 7 pas ((52 – 10)/6). Par conséquent un côté oblique vaut 10 pas et une grande base 19 pas.
Ou bien:
- Utiliser une représentation graphique pour illustrer les relations entre les nombres de pas sur les divers côtés des trapèzes.
Ou bien:
- Adopter un langage plus formalisé avec un système de trois équations à trois inconnues. Dans ce dernier cas, en notant par exemple B, b et l les inconnues exprimant respectivement les nombres de pas nécessaires pour parcourir une grande base, une petite base et un côté oblique d’un trapèze, on obtient le système d’équations :
B = l + 9 ; l = 2b −4 ; 2(b + B) = 52 dont on tire la solution : B = 19, l = 10 b = 7.
- En déduire que la longueur du parcours de A à B est de 154 pas (4B + 4b + 5l).
- Calculer le temps mis par le robot pour aller de A à B : 462 secondes (3×154) et déterminer le nombre de parcours de A à B effectués par le robot en 10 heures (36 000 secondes), par la division avec reste de 36 000 par 462. On obtient 77 avec un reste de 426. En déduire que le robot a parcouru 77 fois la distance de A à B (en allers ou en retours) et qu'il reste encore 426 secondes, correspondants à 142 autres pas, pour commencer son 78ème parcours qui est donc entamé.
- Remarquer qu’un parcours du chemin allant de A vers B de rang impair part de A (le premier, le troisième …) et un parcours de rang pair part de B (le second, le quatrième…). Le robot- Alpha est donc passé 39 fois par B (78/2).
distance, vitesse, fréquence, périodicité, période, algèbre
Points attribués, sur 371 classes de 9 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 85 (43%) | 27 (14%) | 23 (12%) | 49 (25%) | 12 (6%) | 196 | 1.37 |
| Cat 10 | 64 (37%) | 19 (11%) | 23 (13%) | 53 (30%) | 16 (9%) | 175 | 1.65 |
| Total | 149 (40%) | 46 (12%) | 46 (12%) | 102 (27%) | 28 (8%) | 371 | 1.5 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Sur l’idée du problème Le Robot Arthur (20.II.02)
(c) ARMT, 2017-2024