ARMT

Banca di problemi del RMT

al23-it

centre

Poligoni

Identificazione

Rally: 26.F.13 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: GP, OPN, AL
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare, in un insieme di triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni, 72 in tutto, per un totale di 300 lati, il numero di ciascuno di questi poligoni sapendo che ci sono tanti quadrilateri quanti esagoni e che il numero dei triangoli è il quintuplo di quello dei pentagoni

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che si è in presenza di 72 poligoni (24·3) di cui sono noti il totale dei lati (300) e alcune relazioni tra i numeri di triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni e che la richiesta è di determinare ciascuno di questi numeri

- Procedere per tentativi organizzati verificando il rispetto dei vincoli. Per esempio: se ci fosse 1 pentagono, allora i triangoli sarebbero 5; i quadrilateri e gli esagoni, che sono in numero uguale, sarebbero (72 – 6) : 2 = 33; calcolando il numero complessivo dei lati risulterebbe: 1·5 + 5·3 + 33·6 + 33·4 = 350 che non rispetta i vincoli, ...

Continuare aumentando il numero dei pentagoni e trovare la soluzione con 6 pentagoni perché così ci sono 30 triangoli, i quadrilateri e gli esagoni sono: 72 – 36÷ 2 = 18 e i lati complessivi sono: 6·5 + 30·3 + 18·6 + 18·4 = 300

Lo stesso tipo di procedura è evidentemente possibile organizzando i tentativi a partire dal numero dei poligoni esclusi i pentagoni o tenendo conto del numero totale dei lati (300) per verificare che il numero totale dei poligoni sia proprio 72.

Oppure:

- in base alle informazioni date osservare che in un gruppo di figure costituito da un pentagono e 5 triangoli ci sono 20 lati e in uno costituito da un quadrato e un esagono ci sono 10 lati: 30 lati complessivamente. Se ci fossero 10 gruppi di un tipo e 10 di un altro si avrebbero 300 lati ma 80 figure. Ipotizzare allora che ci siano 9 gruppi del primo tipo, cioè 9 pentagoni: così si avrebbero 20 lati in meno che devono essere recuperati aumentando di due il numero dei gruppi del secondo tipo. Si avrebbero così 12 quadrilateri e 12 esagoni. Il numero totale delle figure sarebbe allora 9+45+12+12=78: ancora troppe. Provare ancora con 8, 7 e 6 e verificare che in questo caso si avrebbero 72 figure e 300 lati.

Oppure:

- Impostare un sistema di 2 equazioni con due incognite, per esempio a = n° pentagoni e b = n° esagoni/quadrati e risolverlo:

(I) 5𝑎 + 5(3𝑎) + 6𝑏 + 4𝑏 = 300

(II) 𝑎 + 5𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 72

e quindi a = 6 (numero pentagoni); 6·5 = 30 (numero triangoli); 𝑏 = 36 – 18 = 18 (numero esagoni/ numero quadrilateri)

Nozioni matematiche

triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, côté, sommet, équation, égalité, quintuple

Risultati

26.F.13

Punti attribuiti, su 153 classi di 18 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 716 (31%)14 (27%)4 (8%)11 (22%)6 (12%)511.55
Cat 811 (22%)17 (33%)1 (2%)8 (16%)14 (27%)511.94
Cat 97 (26%)10 (37%)4 (15%)4 (15%)2 (7%)271.41
Cat 105 (21%)7 (29%)1 (4%)1 (4%)10 (42%)242.17
Totale39 (25%)48 (31%)10 (7%)24 (16%)32 (21%)1531.75
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

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