Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de points disposés sur les contours de deux carrés concentriques, à côtés parallèles et espacés de 30 cm, sachant que sur le grand carré les points sont distants de 20 cm, sur le plus petit de 15 cm et qu’il y a le même nombre de points sur chaque carré.
- Pour s'approprier la situation il faut passer de la description faite en mots dans le texte à sa visualisation/représentation en termes géométriques. Imaginer ensuite la figure qu'Anna veut créer et faire éventuellement un dessin qui la représente : un petit carré et un plus grand, avec le même centre et les côtés parallèles formant une double bordure de 30 cm de large et avec le même nombre de bulbes sur chaque carré qui déterminent le même nombre de segments sur les côtés des deux carrés, 15 cm sur le petit carré et 20 cm sur le plus grand.
- Comprendre aussi que, puisqu'il y a un bulbe sur chaque sommet et que tous les segments sont de même longueur, dans chaque carré le nombre de segments est égal à celui des bulbes (la moitié du total) et qu'il y a le même nombre de segments de chaque côté des deux carrés. Si au contraire on concentre son attention sur les côtés, sur chaque côté des deux carrés le nombre de bulbes vaut un de plus que le nombre de segments, et donc dans le calcul total des bulbes il faut éviter de compter deux fois ceux qui sont placés sur les sommets.
- Comprendre à partir de l'information « 30 cm d'écart » que le côté du grand carré mesure 60 cm de plus que celui du petit carré, ou que le périmètre du grand carré mesure 240 cm de plus que celui du petit carré.
Il existe plusieurs façons de procéder pour déterminer le nombre d'bulbes à partir de la longueur des segments (15 et 20), soit en fonction de la longueur des côtés, soit du périmètre des carrés. Par exemple :
Procéder par essais organisés sur le nombre de bulbes par côté : par exemple, si le nombre de bulbes de chaque côté était 3, la mesure du côté le plus long serait de 40 cm et celle du côté le plus court de 30 cm, mais leur différence serait 10 cm et non de 60 cm ; si le nombre de bulbes était 5, la différence entre les deux mesures serait de 20 cm (= 80 − 60) et ainsi de suite jusqu'à atteindre 13 bulbes de chaque côté ce qui conduit à une différence de 60 cm [60 = 20 × (13 − 1) – 15 × (13 − 1)], puis calculer le nombre de bulbes sans compter deux fois ceux des sommets : (4 x 13) – 4 = 48 par carré et 96 en tout.
Procéder par référence aux segments par côté, en pensant aux multiples de 20 et 15 : comprendre que la longueur d'un côté du grand carré s'obtient en multipliant le nombre de segments de ce côté par 20 ; de la même manière la mesure du côté du petit carré s'obtient en multipliant le nombre de segments de son côté par 15. Sachant que la longueur des côtés diffère de 60 cm, constater que ce sont les douzièmes multiples, respectivement de 20 et 15, qui donnent cette différence.
Procéder par proportionnalité en ayant reconnu l'homothétie entre les deux carrés : le rapport est de 15/20 = 3/4 pour les longueurs des segments, donc aussi pour les périmètres dont la différence est de 240 cm. En déduire que le périmètre du petit carré est 720 = (240 × 3), celui du grand carré est de 960 = (240 × 4), et que chacun, divisé par 15 et 20 respectivement, donne 48.
Utiliser l'algèbre. Par exemple (bulbes par côté) : désigner par n le nombre de bulbes de chaque côté des deux carrés et résoudre l'équation 20(n – 1) – 15(n – 1) = 60, dont la solution est 13, ce qui conduit à 48 bulbes par carré après avoir retiré les 4 bulbes sur les sommets (pour ne pas les compter deux fois). Ou, plus simplement (bulbes sur le contour) : en désignant par b le nombre de bulbes sur chaque contour, posez l'équation : 20 b – 15 b = 240, dont la solution est 48.
équation, premier degré, carré, centre, côté, parallèle, concentrique, distance, isométrie, homothétie
Points attribués sur 1254 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 516 (60%) | 180 (21%) | 41 (5%) | 59 (7%) | 58 (7%) | 854 | 0.79 |
| Cat 9 | 96 (46%) | 59 (28%) | 9 (4%) | 23 (11%) | 21 (10%) | 208 | 1.11 |
| Cat 10 | 83 (43%) | 38 (20%) | 20 (10%) | 19 (10%) | 32 (17%) | 192 | 1.37 |
| Total | 695 (55%) | 277 (22%) | 70 (6%) | 101 (8%) | 111 (9%) | 1254 | 0.93 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les observations qui suivent découlent de l'analyse a posteriori de 313 copies de la section de Sienne (212 de cat.8, 48 de cat.9 et 53 de cat.10) et de 61 copies (33 de cat. 8, 13 de cat. 9 et 15 de cat. 10) de la section des Pouilles. En général, les résultats des deux sections ne diffèrent pas beaucoup de ceux internationaux.
Procédures observées
Dans les copies examinées, on retrouve toutes les procédures prévues dans l’analyse a priori, et deux autres en plus :
La procédure par essais à partir de multiples de 20 et 15 est parmi les plus utilisées, même si les exemples ne manquent pas dans lesquels on procède par essais et erreurs plus ou moins systématiquement organisés, sur la mesure du côté du petit ou du grand carré.
La procédure par proportionnalité apparaît dans très peu de copies : les élèves comprennent que Le rapport entre la distance des bulbes est de 3/4. Par conséquent, le rapport des côtés est également de 3/4 et donc la différence (60 cm) entre les côtés des deux carrés correspond à 1/4. De là, ils obtiennent ensuite les mesures des côtés des deux carrés puis le nombre de bulbes.
La procédure algébrique est quasiment absente en cat.8, alors qu'elle prévaut dans les copies de cat.10. dans lesquelles il est également intéressant de souligner la grande variété de manières dont ceux qui ont eu recours à l'algèbre ont exprimé l'équation ou le système utilisé pour résoudre le problème.
Une procédure arithmétique, non prévue a priori, repose sur le constat que les longueurs des côtés des deux carrés diffèrent de 60 cm, mais aussi sur le fait que les côtés du grand et du petit carré doivent être constitués du même nombre de segments, de respectivement 20 cm et 15 cm, donc avec une différence de 5 cm. Il s'ensuit qu'en déplaçant simultanément un segment à la fois sur chacun des deux côtés, à chaque étape on gagne 5 cm du côté du grand carré par rapport au petit. Puisque la différence entre les longueurs des deux côtés est de 60 cm, le nombre d'étapes, ou le nombre de segments nécessaires pour compléter les côtés eux-mêmes, doit être de 12 (= 60 : 5), d'où 12 × 4 = 48, qui est aussi le nombre de bulbes sur chaque carré.
Une procédure graphique qui utilise le « dessin à l'échelle » : on procède par essais et erreurs en dessinant les deux carrés à l'échelle et en positionnant les bulbes dessus de manière à conserver toutes les conditions. Dans certains cas, le dessin à l'échelle est réalisé a posteriori, après avoir trouvé d'une autre manière la mesure des côtés des deux carrés.
Erreurs et obstacles relevés
Les erreurs les plus fréquentes peuvent être réparties en trois catégories :
Erreurs dues à la perte ou à la méconnaissance d'au moins une des conditions, par exemple :
Erreurs dans la « représentation à l'échelle », indicateurs d'un obstacle dans la construction des notions de similitude et de figures semblables
Erreurs récurrentes qui caractérisent l'incompréhension du problème, par exemple:
Les erreurs dues à la difficulté à maîtriser la tâche apparaissent surtout chez les élèves de catégorie 8, où les copies notées par "0 point", ou vierges, représentent 56% du total pour la section de Sienne et 61% pour celle des Pouilles.
Le problème paraît intéressant par les nombreux concepts mathématiques qu’il met en jeu, appartenant à différents domaines :
géométrie (carré, centre d'un carré, carrés concentriques, distance entre deux carrés concentriques à côtés parallèles, homothétie) ; mesure (choix de l'unité de mesure et mesure des longueurs de côtés, périmètres, distances entre côtés) ; arithmétique (multiples et diviseurs, opérations arithmétiques avec nombres naturels, rapports et proportions) ; algèbre (équations et systèmes); logique et raisonnement en géométrie déductive.
Ceci offre aux élèves la possibilité d'appliquer différentes procédures mathématiques pour résoudre le problème et, en même temps, fournit aux enseignants un outil de diagnostic utile concernant le niveau d'acquisition des concepts des élèves au travers des procédures qu'ils mettent en oeuvre.
Si l'on désire utiliser ce problèmeompte en catégorie 8, compte tenu des difficultés relevées, il paraît essentiel de consacrer du temps à l'appropriation de la tâche à partir de la lecture et de l'interprétation du texte, conduite individuellement ou en binôme, suivie d'une phase de comparaison et de discussion, guidée par l'enseignant, qui implique toute la classe.
En cat.9, et surtout en cat.10, où l'on suppose que la stratégie algébrique sera mise en oeuvre, le problème peut être configuré comme un "outil de diagnostic" concernant la maîtrise et l'utilisation correcte des équations et des systèmes, depuis la phase de détermination de l'inconnues jusqu'à la phase finale de résolution d'équations ou de systèmes.
Par ailleurs, la variété des manières d'exprimer l'équation ou le système de solution du problème, telles qu'elles ressortent de l'analyse a posteriori, peut être l'occasion, en classe, d'une discussion et d'un partage utiles sur les différentes manières de « mathématiser » un problème.
Pour plus d’informations, se référer à l’article cité dans la Bibliographie.
l.d. et l.s