I tulipani di Anna

Identificazione

Rally: 27.I.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: AL, GP, OPN
Famiglie:

• AA - Passare dall’aritmetica all’algebra
• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ1 - Risolvere un’equazione di 1° grado

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Sunto

Determinare il numero dei punti disposti sul contorno di due quadrati concentrici, con i lati paralleli e distanti 30 cm, sapendo che nel quadrato più grande i punti distano l’uno dall’altro 20 cm e in quello più piccolo 15 cm e che c’è lo stesso numero di punti su ogni quadrato.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Per appropriarsi della situazione è necessario passare dalla descrizione fatta a parole nel testo ad una sua visualizzazione/rappresentazione in termini geometrici. Immaginare quindi la figura che Anna vuole realizzare ed eventualmente fare un disegno che la rappresenti: un quadrato piccolo e l’altro più grande, con lo stesso centro e con i lati paralleli formanti una doppia bordura di 30 cm di larghezza e con lo stesso numero di bulbi su ogni quadrato che determinano sui lati dei due quadrati uno stesso numero di segmenti, di 15 cm sul quadrato piccolo e di 20 cm su quello più grande.

- Comprendere inoltre che, poiché c’è un bulbo su ogni vertice e tutti i segmenti sono della stessa lunghezza, in ciascun quadrato il numero dei segmenti è uguale a quello dei bulbi (la metà del totale) e che c’è lo stesso numero di segmenti su ogni lato dei due quadrati. Se invece si fissa l’attenzione sui lati, in ciascuno lato dei due quadrati il numero di bulbi è uno in più rispetto al numero dei segmenti, e quindi nel calcolo totale dei bulbi occorre evitare di contare due volte quelli posizionati nei vertici.

- Capire dall’informazione “distanti fra loro 30 cm” che il lato del quadrato grande misura 60 cm più di quello del quadrato piccolo, o che il perimetro del quadrato grande misura 240 cm più di quello del quadrato piccolo.

Ci sono più modi di procedere per determinare il numero di bulbi a partire dalla lunghezza dei segmenti (15 e 20), sia secondo la lunghezza dei lati o del perimetro dei quadrati. Per esempio:

Procedere per tentativi organizzati sul numero di bulbi per lato: per esempio, se il numero di bulbi su ogni lato fosse 3, la misura del lato più lungo sarebbe 40 e quella del lato più corto 30, ma la loro differenza sarebbe 10 e non 60; se il numero dei bulbi fosse 5, la differenza fra le due misure sarebbe 20 (=80−60) e così via fino ad arrivare a 13 bulbi su ogni lato che porta ad una differenza di 60 cm [60 = 20 × (13−1) – 15 × (13−1)], poi calcolare il numero dei bulbi non contando due volte quelli dei vertici: (4 x 13) – 4 = 48 per quadrato e 96 in tutto.

Procedere, con riferimento ai segmenti per lato, pensando ai multipli di 20 e 15: comprendere che la lunghezza di un lato del quadrato grande si ottiene moltiplicando per 20 il numero dei segmenti sul lato; allo stesso modo la misura del lato del quadrato piccolo si ottiene moltiplicando per 15 il numero dei segmenti sul suo lato. Sapendo che la lunghezza dei lati differisce di 60 cm, trovare che sono i dodicesimi multipli, rispettivamente di 20 e 15, che danno questa differenza.

Procedere per proporzionalità, avendo riconosciuto l’omotetia tra i due quadrati: il rapporto è 15/20 = 3/4 per le lunghezze dei segmenti, quindi anche per i perimetri, la cui differenza è 240 cm. Ricavare che il perimetro del quadrato piccolo è 720 = (240 ×3), quello del quadrato grande è 960 = (240 × 4), ciascuno dei quali, diviso rispettivamente per 15 e per 20, dà 48.

Ricorrere all’algebra. Per esempio (bulbi per lato): indicare con n il numero di bulbi su ciascun lato dei due quadrati e risolvere l’equazione 20(n – 1) – 15(n – 1) = 60, la cui soluzione è 13, che porta a 48 bulbi per quadrato dopo aver tolto i 4 bulbi sui vertici (per non contarli due volte). Oppure, più semplicemente (bulbi sul contorno): indicando con b il numero di bulbi su ogni contorno, impostare l’equazione: 20 b – 15 b = 240, la cui soluzione è 48.

Nozioni matematiche

equazione, primo grado, quadrato, centro, lato, parallelo, concentrico, distanza, isometria, omotetia

Risultati

27.I.17

Punti attribuiti su 1254 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (96 bulbi di tulipano) con spiegazioni chiare e complete (rappresentazione grafica, procedura per tentativi con verifica delle condizioni, o procedura di tipo algebrico con nominalizzazione chiara dell’incognita)
• 3 punti: Risposta corretta con una spiegazione incompleta o poco chiara
  oppure risposta sbagliata per un errore di calcolo, ma spiegazione chiara e completa che provi un ragionamento corretto
  oppure risposta 48 (dimenticando di raddoppiare), ma con spiegazione chiara
  oppure risposta corretta con solo la verifica di alcune condizioni
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure risposta 48 (perché ci si è dimenticati di raddoppiare), con spiegazione incompleta
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (rappresentazione grafica corretta, effettuati alcuni tentativi, ...)
  oppure risposta 104 causata dal non aver sottratto 4 per ciascun quadrato
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Negli elaborati esaminati si ritrovano tutte le procedure previste nell’analisi a priori, più altre due:

Procedura per tentativi a partire dai multipli di 20 e di 15 è tra le più utilizzate, anche se non mancano esempi in cui si procede per tentativi, più o meno sistematici, sulla misura del lato del quadrato piccolo o di quello grande.

Procedura per proporzionalità: compare in pochissimi elaborati: gli allievi comprendono che “Il rapporto tra la distanza dei bulbi è ¾. Di conseguenza anche il rapporto dei lati è ¾ e quindi la differenza (60 cm) tra i lati dei due quadrati corrisponde a ¼”. Da qui poi ricavano le misure dei lati dei due quadrati e poi il numero di bulbi.

Procedura di tipo algebrico: è pressoché assente in cat.8, mentre è prevalente negli elaborati di cat.10. nei quali è anche interessante sottolineare la grande varietà di modi in cui, chi ha fatto ricorso all’algebra, ha espresso l’equazione o il sistema utilizzati per risolvere il problema.

Procedura di tipo aritmetico non prevista a priori: si basa sulla constatazione che le lunghezze dei lati dei due quadrati differiscono di 60 cm, ma anche sul fatto che “i lati dei quadrati grande e piccolo devono essere costituiti dallo stesso numero di segmenti, rispettivamente di 20 cm e di 15 cm, quindi con differenza 5 cm”. Ne consegue che, spostandosi contemporaneamente di un segmento alla volta su ciascuno dei due lati, “ad ogni passo” si guadagna 5 cm sul lato del quadrato grande rispetto al piccolo. Poiché la differenza tra le lunghezze dei due lati è 60 cm, il “numero dei passi”, ovvero il numero di segmenti necessari a completare i lati stessi deve essere 12 (= 60 : 5), da cui 12 × 4 = 48, che è anche il numero di bulbi su ciascun quadrato.

Procedura di tipo grafico che fa ricorso al “disegno in scala”: si procede per tentativi disegnando in scala i due quadrati e posizionando su di essi i bulbi in modo da mantenere tutte le condizioni. In alcuni casi il disegno in scala viene fatto a posteriori, dopo aver trovato per altra via la misura dei lati dei due quadrati.

Errori ed ostacoli rilevati

Gli errori più frequenti possono essere suddivisi in tre categorie:

Errori dovuti alla perdita o non comprensione di almeno una delle condizioni, per esempio:

• si considera di 30 cm, anziché di 60 cm, la differenza tra le lunghezze dei lati dei due quadrati, identificando così tale differenza con la distanza tra i lati paralleli dei due quadrati concentrici;
• si perde la condizione che il numero totale dei bulbi in ciascun quadrato debba essere lo stesso;
• non è ben compresa la relazione tra numero di bulbi e numero di segmenti-distanza tra due bulbi, per cui si finisce spesso per togliere o aggiungere, erroneamente, i 4 bulbi sui vertici di ciascun quadrato.

Errori nella “rappresentazione in scala”, rilevatori di un ostacolo nella costruzione dei concetti di similitudine e figure simili

• L’errore che compare più di frequente è quello di disegnare due quadrati concentrici senza rispetto delle proporzioni perché si cambia il valore attribuito all’unità di misura.

Errori ricorrenti che caratterizzano l’incomprensione del problema Ad esempio:

• I dati numerici vengono interpretati in modo errato (ad esempio, 15 cm e 20 cm sono considerati essere le lunghezze dei lati dei due quadrati, oppure 30 cm è considerata la lunghezza del quadrato piccolo)
• Oppure, si disegnano due quadrati concentrici, ma si fissa l’attenzione solo su uno di essi, si disegna su un suo lato un certo numero di bulbi rispettando le distanze, si moltiplica per 4, aggiungendo o no i bulbi sui vertici, e poi si raddoppia il valore trovato, considerandolo a priori valido anche per l’altro quadrato;
• Oppure, si disegnano quadrati non concentrici, o addirittura, in qualche caso, si disegnano i bulbi all’interno dei due quadrati e non sui bordi, errore che può fa pensare alla permanenza del conflitto area/perimetro.

Gli errori dovuti alla difficoltà di appropriazione del compito compaiono soprattutto in cat. 8, dove gli elaborati con punteggio 0 o consegnati in bianco sono il 56% del totale nella sez. di Siena e il 61% nella sez. Puglia.

Indicazioni didattiche

Il problema appare interessante per i molti concetti matematici che mette in gioco, appartenenti ad ambiti diversi:

geometria (quadrato, centro di un quadrato, quadrati concentrici, distanza tra due quadrati concentrici con lati paralleli, omotetia); misura (scelta dell’unità di misura e misurazione di lunghezze di lati, perimetri, distanze fra lati); aritmetica (multipli e divisori, operazioni aritmetiche con numeri naturali, rapporti e proporzioni); algebra (equazioni e sistemi); logica e ragionamento in geometria deduttiva.

Questo offre agli allievi la possibilità di applicare procedure matematiche diverse nella risoluzione del problema e, al tempo stesso, fornisce agli insegnanti un utile strumento di diagnosi riguardo al livello di acquisizione, da parte degli allievi stessi, di quei concetti che le procedure da loro usate hanno fatto intervenire.

Tenuto conto delle difficoltà incontrate dagli allievi di cat. 8, per un utilizzo del problema in classi di questa categoria, si ritiene fondamentale dedicare tempo all’appropriazione del compito a partire dalla lettura ed interpretazione del testo, fatta individualmente o a coppie, seguita poi da una fase di confronto e discussione, guidata dall’insegnante, che coinvolga tutta la classe.

In cat.9, e soprattutto in cat.10, dove è presumibile che venga applicata la strategia algebrica, il problema può configurarsi come strumento di diagnosi riguardo alla padronanza e all’uso corretto di equazioni e sistemi, dalla fase di nominalizzazione dell’incognita o delle incognite a quella finale della risoluzione di equazioni o sistemi.

Inoltre, la varietà di modi di esprimere l’equazione o il sistema risolutivo del problema, come è emerso dall’analisi a posteriori, può essere occasione, in classe, per una utile discussione e condivisione di diversi modi di “matematizzare” un problema.

Per approfondimenti si rimanda all’articolo citato in Bibliografia.

(l.d e l.s)

Bibliografia

Gruppo Algebra – I tulipani di Anna - La Gazzetta di Transalpino, n. 11, 2021, Sezione Approfondimenti pp. 87-112