I tulipani di Anna

Identificazione

Rally: 27.I.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: AL, GP, OPN
Famiglie:

• AA - Passare dall’aritmetica all’algebra
• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ1 - Risolvere un’equazione di 1° grado

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare il numero dei punti disposti sul contorno di due quadrati concentrici, con i lati paralleli e distanti 30 cm, sapendo che nel quadrato più grande i punti distano l’uno dall’altro 20 cm e in quello più piccolo 15 cm e che c’è lo stesso numero di punti su ogni quadrato.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Immaginare come si presenta la doppia bordura che Anna vuole realizzare ed eventualmente rappresentare la situazione con un disegno: un quadrato piccolo e l’altro più grande, concentrici e con i lati paralleli, che formano una doppia bordura larga 30 cm, con lo stesso numero di bulbi su ogni quadrato che determinano sui lati dei due quadrati, uno stesso numero di segmenti, di 15 cm sul quadrato piccolo e di 20 cm su quello più grande.

- Comprendere anche che, poiché c’è un bulbo su ogni vertice e tutti i segmenti sono della stessa lunghezza, il loro numero è quello dei bulbi su ciascun quadrato (la metà del totale) e che c’è lo stesso numero di segmenti su ogni lato dei due quadrati.

- Capire dall’informazione “distanti fra loro 30 cm” che il lato del quadrato grande misura 60 cm più di quello del quadrato piccolo oppure che il perimetro del quadrato grande misura 240 cm più di quello del quadrato piccolo. Ci sono più modi di procedere per determinare il numero di bulbi a partire dalla lunghezza dei segmenti (15 e 20), sia secondo la lunghezza dei lati o del perimetro dei quadrati. Per esempio:

- Procedere per tentativi organizzati (bulbi per lato): se per esempio il numero bulbi su ogni lato fosse 3, la misura del lato più lungo sarebbe 40 e quella del lato più corto 30, ma la loro differenza sarebbe 10 e non 60; se il numero dei bulbi fosse 5, la differenza fra le due misure sarebbe 20 (=80−60) e così via fino ad arrivare a 13 bulbi su ogni lato che porta ad una differenza di 60cm [60 = 20 × (13−1) – 15 × (13−1)], poi calcolare il numero dei bulbi non contando due volte quelli dei vertici: ( 4 x 13) – 4= 48 per quadrato e 96 in tutto.

- Procedere pensando ai multipli di 20 e 15 (segmenti per lato): comprendere che la lunghezza di un lato del quadrato grande si ottiene moltiplicando per 20 il numero dei segmenti sul lato, allo stesso modo la misura del lato del quadrato piccolo si ottiene moltiplicando per 15 il numero dei segmenti sul suo lato e sapendo che la lunghezza dei lati differisce di 60 cm, trovare che ci sono i 12o multipli rispettivamente di 20 e 15 che danno questa differenza.

- Procedere per proporzionalità, con riferimento all’omotetia tra i due quadrati: il rapporto è 15/20 = 3/4 per la lunghezza dei segmenti, quindi anche per i perimetri, la cui differenza è 240 cm. Si ricava che il perimetro del quadrato piccolo è 720 = (240 ×3), quello del quadrato grande è 960 = (240 × 4), ciascuno dei quali, diviso rispettivamente per 15 e per 20 dà 48.

- Ricorrere all’algebra. Per esempio (bulbi per lato): indicare con n il numero di bulbi su ciascun lato di ogni quadrato e risolvere l’equazione 20(n-1) – 15(n-1) = 60; la soluzione è 13 che conduce a 48 bulbi per quadrato dopo aver tolto i 4 bulbi sui vertici (per non contarli due volte),

o, più semplicemente (bulbi sul contorno):

indicando con b il numero di bulbi su ogni contorno, impostare l’equazione: 20 b – 15 b = 240 la cui soluzione è 48.

Nozioni matematiche

equazione, primo grado, quadrato, centro, lato, parallelo, concentrico, distanza, isometria, omotetia

Risultati

27.I.17

Punti attribuiti su 1254 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (96 bulbi di tulipano) con spiegazioni chiare e complete (rappresentazione grafica, procedura per tentativi con verifica delle condizioni, o procedura di tipo algebrico con nominalizzazione chiara dell’incognita)
• 3 punti: Risposta corretta con una spiegazione incompleta o poco chiara
  oppure risposta sbagliata per un errore di calcolo, ma spiegazione chiara e completa che provi un ragionamento corretto
  oppure risposta 48 (dimenticando di raddoppiare), ma con spiegazione chiara
  oppure risposta corretta con solo la verifica di alcune condizioni
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure risposta 48 (perché ci si è dimenticati di raddoppiare), con spiegazione incompleta
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (rappresentazione grafica corretta, effettuati alcuni tentativi, ...)
  oppure risposta 104 causata dal non aver sottratto 4 per ciascun quadrato
• 0 punto: Incomprensione del problema

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