La piscine

Identification

Rallye: 27.II.13 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: AL, GP
Familles:

• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Déterminer les dimensions d’un rectangle connaissant son aire, le nombre et les dimensions des dalles carrées nécessaires pour paver son pourtour extérieur.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Savoir que l’aire d’un rectangle s’obtient en faisant le produit de ses deux dimensions.

- Comprendre que le périmètre de la piscine, en prenant le côté d’un dalle pour unité, s’obtient en retirant 4 du nombre total de dalles.

- Observer que le demi-périmètre de la piscine, dans cette unité de mesure, est 60 (30 en mètres) et que par conséquent les nombres de dalles, dans la longueur comme dans la largeur, doivent être tous les deux pairs ou tous les deux impairs. Exclure cette seconde éventualité puisque l’aire est un nombre pair (en m2)

- En déduire que la longueur et la largeur de la piscine ne peuvent être que des nombres entiers.

- Procéder par essais et ajustements :

• Soit en cherchant deux nombres entiers pairs dont le produit est égal à 176, et dont la somme est 30 (en s’aidant éventuellement de la décomposition de 176 en facteurs.
• Soit après avoir retiré 4 au nombre total de dalles (124 – 4 = 120), calculer le périmètre du rectangle en m (120 × 0,5 = 60) et déterminer deux nombres entiers dont la somme est égale à 30 et le produit 176.
• Soit après avoir retiré 4 au nombre total de dalles (124 – 4 = 120), déterminer deux nombres entiers dont la somme est 120 : 2 = 60, multiplier chacun de ces nombres par 0,5 pour obtenir deux dimensions correspondantes du rectangle. Effectuer ensuite le produit de ces deux nombres et le comparer à 176.

- Procéder comme précédemment mais en effectuant une recherche systématique qui, éventuellement, n’exclut pas la possibilité de nombres impairs de dalles par côté. Par exemple : considérer tous les couples de nombres compatibles avec les dimensions des dalles dont le produit est égal à 176 : 0,5 × 352 ; 1 × 176 ; 2 × 88 ; 4 × 44 ; 5,5 × 32 ; 8 × 22 ; 11 × 16 et vérifier si pour chacun des couples trouvés le nombre correspondant de carrés de 0,5 m de côté est égal à 124. Par exemple pour (0,5 ; 352) : (0,5 : 0,5 + 352 : 0,5) x 2 + 4 = 1414. Trouver que le seul couple solution est (8 ; 22) et que par conséquent il y a 22 : 0,5 + 2 = 46 dalles sur la longueur.

- Mettre le problème en équations. Si a désigne la largeur de la piscine et b sa longueur, arriver à a + b = 30 et a × b = 176. Procéder par essais et ajustements pour trouver a et b ou résoudre l’équation correspondante a² - 30a + 176 = 0 dont les solutions sont 22 et 8.

- Ou factoriser 176 pour trouver les dimensions, en mètres, de la piscine : 11 × 16, 22 × 8, 44 × 4, 88 × 2, 176 × 1 et retenir 22 × 8 qui est la seule conduisant à 124 dalles.

- Les dimensions de la piscine sont 22 m et 8 m et il y a 46 dalles dans la longueur.

Notions mathématiques

carré, rectangle, périmètre, longueur, aire, côté, multiplication, division, bordure, pavé

Résultats

27.II.13

Points attribués sur 2421 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (46 dalles) avec description (texte, dessin ou calcul) de chacune des étapes de la recherche
• 3 points: Réponse correcte mais avec des étapes manquantes de la recherche ou seulement une vérification
  ou réponse erronée consécutive à des erreurs de calcul mais toutes les étapes de la recherche sont correctes et présentes
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou réponse erronée due à la non prise en compte des 4 dalles dans les coins, mais pour le reste la procédure est correcte
• 1 point: Début de recherche correct (au moins la détermination de 2 nombres entiers ou « demi-entiers » dont le produit est 176 ou dont la somme est 60)
• 0 point: Incompréhension du problème

Exploitations didactiques

Voir aussi problème La piscine de Thomas (23.II.16)