La piscina

Identificazione

Rally: 27.II.13 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: AL, GP
Famiglie:

• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

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Sunto

Determinare le dimensioni di un rettangolo conoscendo la sua area, il numero e le dimensioni di mattonelle quadrate necessarie per pavimentare il contorno esterno del rettangolo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Sapere che l’area di un rettangolo si ottiene facendo il prodotto delle sue dimensioni. - Comprendere che il perimetro della piscina, prendendo il lato di una mattonella per unità di misura, si ottiene togliendo 4 dal numero totale di mattonelle.

- Osservare che il semiperimetro della piscina, in tale unità di misura, è 60 (30 in metri) e che quindi il numero di mattonelle sulla lunghezza e quello sulla larghezza devono essere entrambi pari o entrambi dispari. Escludere questo secondo caso perché l’area è espressa da un numero pari di m2.

- Capire che la lunghezza e la larghezza della piscina sono espresse in un numero intero di metri in quanto tutte le piastrelle sono intere.

- Procedere per tentativi e aggiustamenti per esempio in uno dei seguenti modi:

• cercando due numeri (interi pari) il cui prodotto è uguale a 176, e la cui somma è 30 (eventualmente aiutandosi con la scomposizione in fattori di 176).
• dopo aver tolto 4 al numero totale di mattonelle (124 – 4 = 120), calcolare il perimetro del rettangolo in metri (120 × 0,5 = 60) e determinare due numeri interi la cui somma è uguale a 30 e il cui prodotto è 176.
• dopo aver tolto 4 al numero totale di mattonelle (124 – 4 = 120), determinare due numeri interi la cui somma è 120 ÷ 2 = 60, moltiplicare ciascuno di questi numeri per 0,5 per ottenere le misure dei due lati del rettangolo. Effettuare quindi il prodotto di questi due numeri e confrontarlo con 176.

- Procedere come in precedenza ma con una ricerca sistematica che, eventualmente, non escluda a priori la possibilità di un numero dispari di mattonelle per lato. Per esempio, considerare tutte le coppie di numeri compatibili con le dimensioni delle mattonelle e che danno come prodotto 176: 0,5 × 352; 1 × 176; 2 × 88 ; 4 × 44 ; 5,5 × 32 ; 8 × 22 ; 11 × 16 e verificare per ciascuna delle coppie trovate se il numero corrispondente di mattonelle di 0,5 di lato è uguale a 124. Per esempio per (0,5; 352): (0,5 ÷ 0,5 + 352 ÷ 0,5) × 2 + 4 = 1414. Trovare che la sola coppia che va bene è (8 ; 22) e che per conseguenza ci sono 22 ÷ 0,5 + 2 = 46 mattonelle sulla lunghezza.

- Mettere il problema in equazione. Se a indica la larghezza della piscina e b la sua lunghezza, arrivare a a + b = 30 e a × b = 176. Procedere per tentativi e aggiustamenti per trovare a e b, oppure risolvere l’equazione di secondo grado a² + 30 a + 176 = 0 avente per soluzioni 22 e 8.

Oppure

- Fattorizzare il 176 per trovare le possibili dimensioni in metri della piscina. Otteniamo 11 × 16, 22 × 8, 44 × 4, 88 × 2, 176 × 1. L’unica coppia che necessita di 124 piastrelle è 22 × 8.

- Le dimensioni della piscina: 22 m e 8 m e il numero di mattonelle sulla lunghezza: 46.

Nozioni matematiche

quadrato, rettangolo, perimetro, lunghezza, area, lato, moltiplicazione, divisione, bordo, contorno, pavimentazione

Risultati

27.II.13

Punti attribuiti su 2421 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Riposta corretta (46 mattonelle) con descrizione (testo, disegno o calcolo) di ciascuno dei passi della ricerca
• 3 punti: Risposta corretta ma con passi mancanti della ricerca o con solo verifica
  oppure risposta errata o assente in conseguenza di errori di calcolo, ma tutte le tappe della ricerca sono corrette e presenti
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure risposta errata o assenza di risposta dovuta alla non considerazione delle 4 mattonelle degli angoli, ma per il resto procedura corretta
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (almeno determinazione di 2 numeri interi o “semi-interi” il cui prodotto è 176 o la cui somma è 60)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Indicazioni didattiche

Vedere anche il problema La piscina di Tommaso (23.II.16)