Les petit chocolats

Identification

Rallye: 27.II.14 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: AL, LR, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Trouver la somme de 5 nombres naturels a, b, c, d, e dont on connaît les sommes partielles : a + b = 27 ; b + c = 31 ; c + d = 26 ; d + e = 18 ; a + c + e = 36.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre les données du problème : trouver le nombre de chocolats de chaque boîte et les additionner, connaissant les sommes des nombres de chocolats contenus dans quelques-unes des cinq boîtes.

- Procéder par essais successifs, par exemple en choisissant le nombre de chocolats de la première boîte, déduisant le nombre de ceux de la deuxième boîte et ainsi de suite pour vérifier si les résultats vérifient la dernière relation.

Ou

Observer que dans les sommes partielles exprimées dans l’énoncé les première, deuxième, quatrième et cinquième boîtes apparaissent deux fois alors que troisième apparaît trois fois.

• Déduire que 138 = 27 + 31 + 26 + 18 + 36 est la somme du double du nombre des chocolats de la première, deuxième, quatrième et cinquième boîtes et du triple du nombre de ceux de la troisième boîte.
• Se rendre compte, de la première et de la quatrième données, que la somme du nombre des chocolats contenus dans les première, seconde, quatrième et cinquième boîtes 45 = (27 + 18) dont le double est 90.
• Trouver alors que 138 - 90 = 48 est le triple du nombre de chocolats contenus dans la troisième boîte, qui contient par conséquent 16 (= 48 : 3) chocolats.
• En conclure que les cinq boîtes contiennent 45 + 16 = 61 chocolats ou déterminer ce nombre par substitutions successives de 16 dans les relations données.

Ou

De la première et deuxième données, déduire que la troisième boîte contient 4 chocolats de plus que la première, puis de la troisième et quatrième données que la cinquième boîte en contient 8 de moins que la troisième et que par conséquent si x est le nombre de chocolats de la première boîte, la troisième en contient x + 4 et la cinquième x + 4 – 8 = x – 4 ; puis, selon la dernière donnée x + x + 4 + x – 4 = 36 d’où 3x = 36 et finalement x = 12, nombre de chocolats de la première boîte. Déduire alors successivement le nombre de chocolats de la deuxième boîte (15), de la troisième (16), de la quatrième (10), et de la cinquième (8).

Ou

Par voie algébrique, avec les nombres de chaque boîte a, b, c, d, e, traduire en équations les données et obtenir : a + b = 27 ; b + c = 31 ; c + d = 26 ; d + e = 18 ; a + c + e = 36. Procéder par substitutions successives, par exemple en extrayant b de la première relation et le substituant dans la deuxième, … et ainsi de suite.

Notions mathématiques

nombre naturel, multiplication, équation, système d’équations

Résultats

27.II.14

Points attribués sur 1194 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (61) avec explications claires et détaillées de la procédure suivie (essais explicités, approche algébrique, …)
• 3 points: Réponse correcte (61) avec seulement une vérification ou avec explications incomplètes et/ou essais non explicités
  ou les nombres de chaque boîte sont trouvés (12 , 15 , 16 , 10 , 8), mais pas la somme, avec explications claires de la procédure suivie
• 2 points: Réponse correcte (61) sans explications ni vérification
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul, avec procédure correcte
  ou les nombres de chaque boîte sont trouvés (12 , 15 , 16 , 10 , 8), mais pas la somme, avec explications incomplètes
• 1 point: Début de recherche cohérente
  ou, les nombres de chaque boîte sont trouvés (12 , 15 , 16 , 10 , 8), mais pas la somme, sans explications
  ou, cinq nombres trouvés qui ne satisfont que quatre des conditions (par exemple 18, 9, 22, 4, 14)
• 0 point: Incompréhension du problème

Exploitations didactiques

Voir aussi problème Bonbons (11.F.13)