Une grande écurie (II)

Identification

Rallye: 27.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les nombres qui, multipliés par eux-mêmes donnent un produit compris entre 900 et 1100 et tels que la somme de ce produit et du nombre de départ soit inférieure à 1100.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Se rendre compte que, puisque chaque cheval a mangé un nombre n de carottes égal à celui des chevaux de l’écurie, le nombre de carottes consommées par tous les chevaux est n × n = n².

- Reconnaître que le nombre n² des carottes mangées doit être plus grand que 900 (puisque les carottes de neuf sacs ont été mangées) et qu’en les additionnant au nombre n des chevaux on doit obtenir un nombre plus petit ou égal à 1100.

- Procéder par essais successifs à partir d’un nombre de chevaux hypothétique jusqu’à l’obtention d’un nombre de carottes mangées compris entre 900 et 1100 et vérifier que la somme du nombre des chevaux et de celui des carottes mangées est plus petit que 1100.

- Expliciter les essais à partir, par exemple, de 25 chevaux. Éventuellement par un tableau comme celui-ci :

- Reconnaître que 30 n’est pas une solution parce que plus de 9 sacs de carottes ont été utilisés mais que, l’écurie pourrait accueillir 31 ou 32 chevaux. En effet 31 + 31² = 992 et 32 + 32² =1056, résultats tous les deux plus petits que 1100

- Vérifier qu’il ne pourrait pas y avoir plus de chevaux car 33² +33 = 1122 dépasse le nombre de carottes achetées.

Ou, partir du nombre n² de carottes qui est compris entre 900 et 1100. Puisque 30² = 900 ne convient pas, considérer les carrés des nombres successifs qui respectent les limites souhaitées : 31² = 961, 32²= 1024 et 33²=1089 (les suivants 34² = 1122 ne sont pas acceptables car ils sont plus grands que 1100).

Les nombres 31, 32, 33 peuvent être sélectionnés. Contrôler pour chaque carré si la somme demandée est plus petite que 1100. Découvrir que c’est valable pour 31² + 31 = 992 et 32² + 32 = 1056, mais pas pour 33² + 33 = 1122. En déduire qu’il peut y avoir 31 ou 32 chevaux dans l’écurie

Ou,

résoudre le système d’inéquation 900 < n² + n < 1100, où n est un nombre naturel tenant compte que n² > 900.

Puisque 𝑛²+𝑛=𝑛∙𝑛+1 on peut procéder par essais organisés en cherchant un nombre qui, multiplié par son successeur, soit compris entre 900 et 1100. On trouve ainsi les solutions, n = 31 et n = 32.

Notions mathématiques

produit, multiplication, encadrement, élévation au carré, puissance, inéquation

Résultats

27.II.15

Points attribués sur 1210 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (31 ou 32 chevaux) avec explications claires (détail des calculs et des essais, pose du système d’inéquations, …) et justification de l’exhaustivité de la réponse (en contrôlant pour les carrés de 30 et 33)
• 3 points: Réponse correcte avec explications claires mais sans vérification qu’il n’y a pas d’autre solution
  ou une solution correcte et une erronée à cause d’une erreur de calcul avec détail des calculs
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou une seule solution avec procédure claire
• 1 point: Une seule solution correcte sans explications
  ou réponse avec 33 en plus des deux solutions, sans vérifier la dernière condition
  ou début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

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