Una grande scuderia (II)

Identificazione

Rally: 27.II.15 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Trovare i numeri che, moltiplicati per se stessi, danno un prodotto compreso tra 900 e 1100 e tali che la somma di questo prodotto e del numero di partenza sia inferiore a 1100.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Rendersi conto che poiché ogni cavallo ha mangiato un numero n di carote uguale a quello dei cavalli presenti nella scuderia, il numero di carote consumate da tutti i cavalli è n × n = n².

- Riconoscere che il numero n² delle carote mangiate deve essere maggiore di 900 (poiché sono stati mangiati più di nove sacchi di carote) e che sommandolo al numero n dei cavalli si deve ottenere un numero minore o uguale a 1100.

- Procedere per tentativi successivi a partire da un ipotetico numero di cavalli fino ad ottenere un numero di carote mangiate compreso tra 900 e 1100 e verificare che la somma del numero dei cavalli e di quello delle carote mangiate è minore di 1100.

- Esplicitare i tentativi a partire ad esempio da 25 cavalli. Eventualmente visualizzare i tentativi fatti mediante una tabella di questo tipo:

- Riconoscere che 30 non è una soluzione perché sono stati utilizzati più di nove sacchi di carote e che invece la scuderia potrebbe ospitare 31 o 32 cavalli. Infatti 31 + 31² = 992 e 3 + 32² = 1056, risultati entrambi minori di 1100.

- Verificare che i cavalli non potrebbero essere in numero maggiore infatti 33 + 33² = 1122 che supera il numero di carote acquistate.

Oppure

- Partire dal numero n² di carote che è compreso tra 900 e 1100. Poiché 302²= 900 non va bene, considerare i quadrati dei numeri successivi che rispettino i limiti desiderati, ovvero: 31² = 961, 32² = 1024 e 33² = 1089 (il successivo 34² = 1122 non è accettabile perché superiore a 1100). I numeri 31, 32, 33 possono essere selezionati. Controllare per ciascun quadrato se la somma con la sua base è ancora minore o uguale a 1100. Scoprire che questo vale solo per 31² + 31 = 992 e 32² + 32 = 1056, perché 33² + 33 = 1122. Dedurre che i cavalli della scuderia possono essere 31 o 32.

Oppure

- Impostare il sistema di disequazioni 900<𝑛²+𝑛≤1100, con n intero positivo tenendo conto che anche n² > 900.

Poiché 𝑛²+𝑛=𝑛∙𝑛+1 si può procedere per tentativi organizzati determinando un numero che moltiplicato per il successivo sia compreso fra 900 e 1100.

Si trovano così le soluzioni, n = 31 oppure n = 32.

Nozioni matematiche

prodotto, moltiplicazione, inquadramento, elevazione al quadrto, potenza, disequazione

Risultati

27.II.15

Punti attribuiti su 1210 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (31 o 32 cavalli) con spiegazione chiara (dettaglio dei calcoli e dei tentativi fatti, impostazione del sistema di disequazioni, …) e giustificazione dell’esaustività della risposta (calcolo dei quadrati di 30 e 33)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione chiara ma senza verifica che non ci sono altre soluzioni
  oppure una soluzione corretta ed una errata a causa di un errore di calcolo con dettaglio dei calcoli
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure trovata una sola soluzione con procedura chiara
• 1 punto: Una sola soluzione corretta senza spiegazione
  oppure oltre alle due risposte corrette, considerato anche il 33, senza verificare l’ultima condizione
  oppure inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema