Banque de problèmes du RMT
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Trouver le produit de 12 et d’un nombre inconnu qui est aussi le produit de 16 et d’un nombre qui vaut 2 de moins que le nombre inconnu, puis calculer ces deux produits égaux.
Analyse a priori:
- Comprendre comment sont disposés initialement les parasols : dans chaque file parallèle à la côte il y en a 4 de plus que dans les files perpendiculaires à la côte, formant un rectangle de dimensions n - 4 et n (parasols).
- Noter que, après la tempête, le nombre de parasols reste le même mais qu’ils sont disposés en deux files de moins avec 16 parasols chacune : 16 × (n – 2)
- Comprendre que le nombre de parasols est un multiple de 16 et que le nombre des files avant la tempête doit être supérieur à 2 et inférieur à 12 (sinon les parasols dans chaque file auraient déjà été 16 ou plus).
- Procéder par essais du nombre initial de files, en contrôlant que le nombre de parasols à redistribuer après la tempête soit divisible par le nouveau nombre de files et vérifier que le nombre final de parasols par file soit 16. Pour aider les correcteurs voici un tableau possible :
- Trouver ainsi les deux possibilités : 4 files initiales avec 4 + 4 parasols par file pour un total de 32 parasols, ou 8 files initiales avec 12 parasols par file pour un total de 96 parasols.
- Comprendre qu’il n’y a pas d’autre solution parce qu’en continuant le tableau on obtient des nombres de parasols à redistribuer non divisibles par le nouveau nombre des files ou un nombre de parasols par file qui dépasse 16 et devient de plus en plus grand
- Dans l’analyse des différents cas on peut exclure les nombres impairs qui donnent un nombre impair de parasols et par conséquent non divisible par 16
Ou
procéder par essais du nombre initial de files, calculer le nombre de parasols dans la disposition avant la tempête (n files de n + 4 parasols chacune) et celui de la disposition après la tempête (n - 2 files de 16 parasols chacune) et contrôler que les nombres obtenus soient égaux : par exemple avec 3 files initiales il y a 3 × (3 + 4) = 21 parasols (avant la tempête) différent de 1 × 16 = 16 (après la tempête), alors qu’avec 4 files initiales il y a 4 × (4 + 4) = 32 (parasols (avant la tempête)) égal à 2 × 16 = 32 (après la tempête) et ainsi de suite jusqu’à trouver l’autre solution : 96 parasols sur 8 files. Constater qu’il ne peut pas y avoir d’autre solution, éventuellement avec des considérations comme dans le cas précédent.
Cette procédure est plus rapide et permet de calculer aussi le nombre des parasols.
Ou par algèbre :
en notant n le nombre de files de la disposition initiale et donc (n + 4) le nombre initial de parasols par file et (n - 2) le nombre final de files, poser l'équation du second degré n(n + 4) = 16(n – 2). Trouver les deux solutions n = 4 et n = 8.
- Calculer ensuite le nombre total de parasols (respectivement 32 et 96) en multipliant le nombre de files par 16.
produit, multiplication, nombre naturel, inconnue, multiple
Points attribués sur 1208 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 503 (62%) | 113 (14%) | 165 (20%) | 10 (1%) | 19 (2%) | 810 | 0.68 |
| Cat 9 | 92 (45%) | 29 (14%) | 65 (32%) | 13 (6%) | 7 (3%) | 206 | 1.1 |
| Cat 10 | 94 (49%) | 23 (12%) | 49 (26%) | 13 (7%) | 13 (7%) | 192 | 1.1 |
| Total | 689 (57%) | 165 (14%) | 279 (23%) | 36 (3%) | 39 (3%) | 1208 | 0.82 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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