La mareggiata (II)

Identificazione

Rally: 27.II.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari

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Sunto

Trovare i possibili numeri di oggetti che possono essere disposti in n file di n + 4 o in n − 2 file di 16.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire come sono inizialmente disposti gli ombrelloni nella spiaggia: in ciascuna fila orizzontale ci sono 4 ombrelloni in più rispetto agli ombrelloni disposti in quelle verticali, cioè che formano un rettangolo di dimensioni n + 4 e n (misurate in numero di ombrelloni).

- Notare che dopo la mareggiata il numero di ombrelloni non cambia, ma vengono disposti in due file in meno, con 16 ombrelloni ciascuna (16 × (n – 2).

- Capire che il numero di ombrelloni è un multiplo di 16 e che il numero delle file prima della mareggiata deve essere maggiore di 2 e minore di 12 (altrimenti gli ombrelloni in ciascuna fila sarebbero già stati 16 o di più).

- Procedere per tentativi sul possibile numero di file iniziale, controllando che il numero di ombrelloni da ridistribuire dopo la mareggiata sia divisibile per il nuovo numero di file e verificando che il numero finale di ombrelloni per fila sia 16. Per agevolare i correttori si riporta una tabella dei possibili calcoli:

- Trovare così le due possibilità: 4 file iniziali con 4 + 4 ombrelloni per fila per un totale di 32 ombrelloni, o 8 file iniziali con 12 ombrelloni a fila per un totale di 96 ombrelloni.

- Capire che non ci sono altre soluzioni perché proseguendo la tabella si ottengono numeri di ombrelloni da ridistribuire non divisibili per il nuovo numero delle file o un numero di ombrelloni per fila che supera 16 e diventa sempre più grande.

- Nell’analisi dei vari casi si possono escludere i numeri dispari che danno un numero di ombrelloni dispari e quindi non divisibile per 16.

Oppure

- Procedere per tentativi sul possibile numero di file iniziali, calcolare il numero P di ombrelloni nella disposizione prima della mareggiata (n × (n + 4) dove n indica il numero delle file) e quello nella disposizione dopo la mareggiata (16 × (n − 2)) e controllare che i numeri ottenuti siano uguali: ad esempio se le file iniziali sono 3, gli ombrelloni sono 3 × (3 + 4) = 21 (ombrelloni prima della mareggiata) che è diverso da 1 × 16 = 16 (ombrelloni dopo la mareggiata), mentre con 4 file iniziali ci sono 4 × (4 + 4) = 32 (ombrelloni prima della mareggiata) che è uguale a 2 × 16 = 32 (ombrelloni dopo la mareggiata) e così via fino a trovare l’altra soluzione, 96 ombrelloni per 8 file. Constatare che non ci possono essere altre soluzioni eventualmente con considerazioni analoghe al caso precedente. Eventualmente dall’uguaglianza P = n × (n + 4) = 16 × (n – 2) accorgersi che, essendo P un multiplo di 16, n deve essere un multiplo di 4 e fare tentativi solo per n = 4, 8, 12, 16, …

Nozioni matematiche

prodotto, moltiplicazione, numero naturale, incognita, multiplo

Risultati

27.II.16

Punti attribuiti su 1208 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (32 o 96 ombrelloni), con spiegazione chiara e completa (risoluzione dell'equazione di secondo grado con formula risolutiva o con tentativi, o tentativi ben organizzati con mostrata l’esaustività delle soluzioni)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara (tentativi non esaustivi, o solo la frase “abbiamo proceduto per tentativi”), ma con verifica delle soluzioni
  oppure risposta 4 e 8 che indica il possibile numero di file iniziali con spiegazione chiara, ma senza il calcolo degli ombrelloni totali
• 2 punti: Una sola soluzione corretta con spiegazione chiara o con solo la verifica
  oppure una soluzione corretta e una errata a causa di un errore nella risoluzione dell’equazione corretta o di un errore di calcolo nella procedura per tentativi
• 1 punto: Una soluzione corretta senza spiegazione né verifica (o solo con la frase “abbiamo proceduto per tentativi”)
  oppure risposta che riporta un solo numero di file iniziali trovate per tentativi, senza il calcolo degli ombrelloni totali
  oppure inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema