Le dessin, quelle passion !

Identification

Rallye: 27.II.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: AL, OPD
Familles:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Trouver les nombres de trois types, d’objets connaissant le prix unitaire de chacun 0,25 ; 1,50 ; et 5 (en €), le nombre total d’objets (50) et leur prix total (50 €).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre qu’il y a 50 objets achetés, pour 50 euros, qu’on connaît le prix de 1 crayon de couleur (0,25), d’un feutre (1,50) et d’un album de dessin (5) mais qu’on ne sait pas combien il y a d’objets de chaque sorte et que c’est justement l’objet de la question.

- Considérer que l’on connait les prix unitaires des objets achetés et le coût total et qu’il faut trouver le nombre de chacun des trois types d’objets achetés.

- Comprendre que l’on doit chercher trois nombres naturels dont la somme est 50 et qui, multipliés, respectivement, par 0,25 par 1,50 et par 5 donnent une somme de 50.

- Exprimer les relations entre les grandeurs en jeu mentionnées dans l’énoncé. Par exemple, en notant c, f, a, respectivement le nombre de crayons, feutres et albums, achetés, écrire les deux équations c + f + a = 50 et 0,25 c + 1,5 f + 5 a = 50.

• Constater qu’il s’agit d’un système (linéaire) de deux équations à trois inconnues dont seules les solutions entières positives seront prises en considération (parmi le nombre infini de solutions).
• Choisir a par exemple comme valeur positive et résoudre les deux équations en c et f (d’une manière ou d’une autre), pour obtenir les expressions en c et f : c = 20 +(14/5)a ; f = 30 – (19/5)a. Comprendre que la seule valeur acceptable pour obtenir un résultat positif est a = 5.
• Conclure qu’Alex achète 34 crayons (20 + 14), 11 feutres (30-19) et 5 albums.

Ou (procédure longue avec risque d’erreurs) :

- Procéder par essais, qui s’organiseront progressivement. Par exemple considérer qu’un album coûte 5 euros et qu’on ne peut pas en acheter plus de 9, essayer avec 4 albums (20 euros) et contrôler s’il pourrait acheter 46 objets (crayons et feutres), et continuer jusqu’à arriver à 5 albums et d’acheter encore 45 objets avec les 25 euros restants : 354 crayons et 11 feutres (25 = 0,25 × 34 + 1,5 × 11).

Notions mathématiques

équation du premier degré, système d’équations, inconnue, combinaison linéaire

Résultats

27.II.19

Points attribués sur 397 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (34 crayons et 11 feutres et 5 albums) avec l’indication claire et complète de la procédure suivie, avec le détail des opérations (34 × 0,25 + 11 × 1,5 = 25) qui servent de vérification (l’indication des inconnues, la mise en équation et la résolution ou le détail des essais et des calculs effectués)
• 3 points: Réponse correcte avec une explication incomplète ou peu claire de la procédure suivie
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou une procédure correcte mais une réponse erronée due à une erreur de calcul
  ou réponse correcte avec seulement la vérification des contraintes pour 34 crayons et 11 feutres et 5 albums
• 1 point: Début de recherche approprié (tentatives qui montrent la compréhension des contraintes du problème, mais sans parvenir à une solution),
  ou la pose du système d’équations et quelques tentatives qui ne conduisent pas à la solution
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple, essais qui ne tiennent pas compte des contraintes du problème)