Friandises de Noël

Identification

Rallye: 27.F.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: AL, LR, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver deux nombres entiers naturels dont la somme vaut 27 et la somme des produits du premier nombre par 4 et du second par 7 vaut 174.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Se représenter la situation : les 174 gâteaux répartis en 27 boîtes où dans chaque boîte les gâteaux sont tous du même type : les unes de 4 « pâtisseries », les autres de 7 « biscuits ».

- Percevoir les relations numériques en distinguant bien les nombres de boîtes et les nombres de gâteaux :

   le nombre de « pâtisseries » est égal à quatre fois le nombre de boîtes « pâtisseries »  (4 × P),

   le nombre de « biscuits » est égal à sept fois le nombre de boîtes « biscuits » (7 × B),

   la somme des deux nombres de boîtes est égale à 27 = P + B,

   le nombre des gâteaux dans les deux types de boîtes est  égal à 174 = (4 × P) + (7 × B).

- Pour trouver la solution sans recourir à l’algèbre (système de deux équations linéaires à deux inconnues) il faut commencer par un essai en choisissant les deux nombres de boîtes (par exemple 20 et 7), calculer les nombres de gâteaux correspondants ( (4 × 20) + (7 × 7) = 129) et constater que le nombre de gâteaux est différent de 174 (à moins d’être tombé directement sur la bonne répartition !) puis recommencer avec d’autres essais, au hasard.

- Ou en « conduisant » les essais en fonction des résultats précédents (par exemple après 20 et 7 qui donne 129, se rendre compte qu’il faudra augmenter le nombre de boîtes qui ont le plus de gâteaux (B, avec 7 gâteaux par boîte) et diminuer le nombre de celles qui ont le moins de gâteaux (P, avec 4 gâteaux par boîte).

Par exemple 15 et 12 donne (4 × 15) + (7 × 12) = 144, etc.

On arrive ainsi à la solution 5 et 22 vérifiée par (4 × 5) + (7 × 22) = 174.

- Ou en essayant systématiquement tous les couples dont la somme est 27 : (0 ; 27), (1 ; 26)… pour arriver à (5 ; 22).

Notions mathématiques

nombre naturel, multiplication, équation, système d’équations, somme , produit

Résultats

27.F.12

Points attribués sur 244 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (5 boîtes de pâtisseries et 22 boîtes de biscuits) avec une description claire de la démarche (les essais sont indiqués avec les calculs permettant de distinguer les essais rejetés et la solution retenue)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes (seulement la vérification de la solution sans mentionner les essais ou des essais contenant des erreurs)
• 2 points: Réponse correcte sans explication ni vérification
  ou réponse erronée ne respectant pas la contrainte des 27 boîtes (par exemple : 26 boîtes de pâtisseries et 10 boîtes de biscuits (26 × 4) + (10 × 7) = 174)
  ou une seule erreur de calcul dans la résolution
• 1 point: Début de recherche correcte, par exemple quelques essais montrant que les informations ont été comprises, mais sans aboutir
• 0 point: Incompréhension du problème

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