Loteries

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Rallye: 28.I.20 ; catégories: 9, 10 ; domaine: AL
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Étant donné dans N un système de deux équations du premier degré à trois inconnues, déterminer les valeurs numériques de deux autres combinaisons à coefficients entiers naturels de ces trois mêmes inconnues.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que les billets des trois loteries ont des prix différents inconnus et qu’on ne connaît que la dépense totale pour l’acquisition de deux quantités différentes de billets des trois types et qu’il s’agit de trouver la dépense de chacun des deux amis pour l’achat des deux autres combinaisons des trois types de billets.

- Exprimer sous forme synthétique les informations relatives au premier achat de billets, par exemple :

P₁ : B + 3J + 7V = 44 S₁ : B + 4J + 10V = 58 (montants connus)

et au deuxième achat :

P₂ : B + J + V = ? S₂ : 2B + 3J + 5V = ? (montants inconnus)

Déduire de la relation S₁ que la valeur de V ne peut pas excéder 5 car si V = 6, 10V serait supérieur à 58.

- Procéder par essais en attribuant par exemple une valeur au billet vert (c’est celui qui est présent en plus grand nombre dans les deux quantités dont les prix sont connus). Les valeurs à envisager pour V sont donc 1, 2, 3, 4, 5.

• Si V = 1, alors B + 4J = 48 et J peut prendre les valeurs 11, 10, 9 ……, 1 ; les valeurs correspondantes de B sont 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44.
• Tester chaque triplet de valeurs (B, J, 1) dans P₁. L’égalité n’est vérifiée que pour B = 4 et J = 11.
• A partir de là, calculer les prix payés par Pierre et Samuel pour leur second achat :
P₂ : B + J + V = 4 + 11 + 1 = 16 (euros) S₂ : 2B + 3J + 5 V = 8 + 33 + 5 = 46 (euros)
• Procéder de même pour les autres valeurs de V.
On obtient 4 solutions (V = 1, J =11, B = 4) ; (V = 2, J = 8, B = 6) ; (V = 3, J = 5, B = 8) ; (V = 4, J = 2, B = 10) qui conduisent toutes à P₂ : B + J + V = 16 (euros) et S₂ : 2B + 3J + 5 V = 46 (euros).

Ou

- Chercher à combiner les deux relations connues S₁ et P₁ afin d’obtenir d’autres égalités. En les soustrayant membres à membres on obtient J + 3V = 14.

- Procéder ensuite par essais en attribuant successivement à V les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5, ce qui conduit aux solutions (V = 1, J =11) ; (V = 2, J = 8) ; (V = 3, J = 5); (V = 4, J = 2).

• Reporter ces valeurs dans S₁ ou P₁ pour déterminer les valeurs correspondantes de B : 4, 6, 8 et 10
• Déterminer ensuite les prix payés par Pierre et Samuel pour leurs seconds achats.

Ou

- Après avoir trouvé que J + 3V = 14, en introduisant cette relation dans le premier membre de S₁, arriver à : B + 4J + 10 V = B + J + (3J + 9V) + V = B + J + 3(J + 3V) + V = B + J + 3 × 14 + V = 58 D’où on tire la valeur P₂ : B + J + V = 58 – (3 × 14) = 58 – 42 = 16.

- Procéder de façon analogue pour déterminer la valeur de S₂ :

- 2B + 3J + 5V = 2B + (J + 3V) + 2J + 2V = (2B + 2J + 2V) + (J + 3V) = 2 × 16 + 14 = 32 + 14 = 46.

Ou

- Se rendre compte, après quelques essais, que les expressions P₂ et S₂ peuvent être obtenues par des combinaisons linéaires opportunes de P₁ et S₁ et qu’il est donc possible de déterminer le coût total correspondant de chacune d’elles. On a en effet :

P₂ : B + J + V = 3(B + 3J + 7V) – 2(B + 4J + 10V) = 3P₁ – 2S₁ = 3 × 44 – 2 × 58 = 16

S₂ : 2B + 3J + 5V = 5(B + 3J + 7V) – 3(B + 4J + 10V) = 5 P₁ – 3S₁ = 5 × 44 – 3 × 58 = 46

Notions mathématiques

équation, système d’équations linéaires, inconnue

Résultats

28.I.20

Points attribués sur 272 classes de 5 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Pierre dépense 16 euros et Samuel dépense 46 euros) avec explications claires et complètes de la procédure (résolution par combinaisons et essais ou substitutions, avec présence des calculs et vérification de l’invariance du montant des deux derniers achats, obtenue à partir des prix individuels de chaque billet)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications peu claires ou incomplètes (par exemple des passages mal explicités dans les procédures par combinaisons et substitutions ou oubli d’une solution parmi les quatre dans une procédure par essais, mais constat de l’invariance des montants des seconds achats)
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul mais avec explications claires et complètes de la procédure
  ou réponse correcte obtenue à partir du premier triplet de valeurs trouvées pour le prix de chaque type de billets sans considérer les trois autres possibilités
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple, essai d’obtention des deux combinaisons dont les prix sont à déterminer à partir des deux dont les prix sont connus ou tentative inaboutie de résolution par essais)
• 0 point: Incompréhension du problème