Lotterie

Identificazione

Rally: 28.I.20 ; categorie: 9, 10 ; ambito: AL
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari

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Sunto

Dato in N un sistema di due equazioni di primo grado in tre incognite, determinare il valore numerico di due altre combinazioni a coefficienti naturali delle stesse tre incognite.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che i biglietti delle tre lotterie hanno prezzi diversi non noti, che si conosce la spesa complessiva per l’acquisto di due diverse quantità di biglietti dei tre tipi e che occorre trovare quanto paga ciascuno dei due amici per l’acquisto di altre due diverse combinazioni dei tre tipi di biglietti.

- Esprimere in forma sintetica le informazioni relative al primo acquisto dei tre biglietti, indicando ad esempio:

P₁: B + 3G + 7V = 44 S₁: B + 4G + 10V = 58 (somme note)

e il secondo acquisto:

P₂: B + G + V =? S₂: 2B + 3G + 5V =? (somme incognite).

Dedurre dalla relazione S₁ che V non può superare 6 perché se V = 6, 10V sarà maggiore di 58.

- Procedere per tentativi attribuendo per esempio un valore al biglietto verde (che è quello che è presente in numero maggiore nei due acquisti i cui prezzi sono noti), I valori che si possono assegnare a V sono dunque 1, 2, 3, 4, 5.

• Se V = 1, allora B + 4G = 48 e G può assumere i valori 11, 10, 9 ……, 1; i valori corrispondenti di B sono 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44.
• Verificare ciascuna terna di valori (B, G, 1) in P₁. L’uguaglianza è verificata solo per B = 4 e G = 11.
• A partire da ciò calcolare i prezzi pagati da Piero e Sandro per il loro secondo acquisto:
• P₂: B + G + V = 4 + 11 + 1 = 16 (euro) S₂: 2B + 3G + 5 V = 8 + 33 + 5 = 46 (euro)
• Procedere analogamente per gli altri valori di V.

Si ottengono così quattro soluzioni (V = 1, G =11, B = 4); (V = 2, G = 8, B = 6); (V = 3, G = 5, B = 8); (V = 4, G = 2, B = 10) che portano tutte a P₂: B + G + V = 16 (euro) e S₂: 2B + 3G + 5 V = 46 (euro).

Oppure

- Cercare di combinare le due relazioni note S₁ e P₁ al fine di ottenere un’altra uguaglianza. Sottraendo membro a membro si ottiene G + 3V = 14.

- Procedere poi per tentativi assegnando successivamente a V i valori 1, 2, 3, 4 e 5, che portano alle soluzioni

(V = 1, G =11); (V = 2, G = 8); (V = 3, G = 5); (V = 4, G = 2).

• Sostituire questi valori in S₁ o P₁ per determinare i valori corrispondenti di B: 4, 6, 8 e 10
• Determinare successivamente i prezzi pagati da Piero e Sandro per il loro secondo acquisto.

Oppure

- Dopo aver trovato che G + 3V = 14, si introduce questa relazione nel primo membro di S₁ arrivando a:

A+ 4G+ 10V= A +G+(3G + 9V) + V = A+ G+3(G +3V) +V = A+ G+(3 × 14) +V = 58 da cui

ricavare il valore di

P₂: A+G+V = 58 – (3 × 14) = 58 – 42 = 16.

- Procedere in modo analogo per determinare il valore di S₂:

2A + 3G + 5V = 2A + (G + 3V) + 2G + 2V = (2A + 2G + 2V) = (G + 3V) = 2 × 16 + 14 = 32 + 14 = 46.

Oppure

- Rendersi conto dopo qualche tentativo, che le espressioni P₂ et S₂ si possono ottenere con opportune combinazioni lineari di P₁ e S₁ e che è possibile determinare il prezzo totale corrispondente a ciascuna di esse. Infatti:

P₂: B + J + V = 3(B + 3J + 7V) – 2(B + 4J + 10V) = 3P₁ – 2S₁ = 3 × 44 – 2 × 58 = 16

S₂: 2B + 3J + 5V = 5(B + 3J + 7V) – 3(B + 4J + 10V) = 5 P₁ – 3S₁ = 5 × 44 – 3 × 58 = 46

Nozioni matematiche

equazione, sistema di equazioni lineari, incognita

Risultati

28.I.20

Punti attribuiti su 272 classi di 5 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta (Piero spende 16 euro e Sandro spende 46 euro) con spiegazione chiara e completa del procedimento (risoluzione tramite combinazioni e tentativi o sostituzioni, con presenza dei calcoli e verifica dell’invarianza dei due acquisti quando si ottengono con la determinazione dei possibili costi di ciascuno tipo di biglietto)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara o incompleta (per es. passaggi non ben esplicitati nella procedura per combinazioni e sostituzioni oppure dimenticanza di uno dei quattro casi risolutivi nella procedura per tentativi, ma verificata l’invarianza dei due acquisti)
• 2 punti: Risposta errata dovuta ad un errore di calcolo, ma spiegazione chiara e completa del procedimento
  oppure risposta corretta ottenuta a partire dalla prima terna di valori trovati per i prezzi di ciascun tipo di biglietto senza considerare le altre tre possibilità
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto (per esempio, tentativi di completamento delle ultime due relazioni utilizzando quelle note o iniziata la procedura per tentativi)
• 0 punto: Incomprensione del problema