Biglie

Identificazione

Rally: 29.F.08 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: AL, OPN
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQ1 - Risolvere un’equazione di 1° grado
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Trovare due numeri sapendo che incrementandone uno di 12 e l’altro di 24, si ottengono due numeri la cui somma è 86 e la differenza 14.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Comprendere la situazione problematica ed il fattore temporale: oggi Luigi e Andrea hanno 86 biglie e Luigi ne ha 14 in più di Andrea ma questa differenza non è la stessa dell’ultima volta che si sono incontrati perché in 12 settimane i due amici hanno acquistato un numero diverso di biglie: Luigi ha comprato 12 biglie (una per ogni settimana) mentre Andrea 24 (2 per ogni settimana).

- Trovare il numero di biglie che ha oggi ognuno dei due amici, cioè cercare due numeri la cui somma sia 86 e la cui differenza sia 14. Si può procedere in vari modi:

• per tentativi, ad esempio tenendo conto che Luigi deve avere più biglie di Andrea e perciò più di 43 (86 ÷ 2), attribuire a Luigi 44, 45, … biglie e trovare quelle di Andrea (42, 41, …), poi calcolare la differenza tra i due fino a quando risulta 14. Questo avviene quando si attribuiscono a Luigi 50 biglie perché in questo modo Andrea ne ha 36 (86 – 50) e la differenza è 14 (50 –  36);
• per via aritmetica, aiutandosi eventualmente con una rappresentazione grafica, comprendere che togliendo o aggiungendo le 14 biglie in più dal totale (86 – 14 = 72) o (86 + 14 = 100) si trova rispettivamente il doppio delle biglie di Andrea o di Luigi e dividendo poi a metà il numero ottenuto, si trova il numero delle biglie di Andrea (72 ÷ 2 = 36), o di Luigi (100 ÷ 2 = 50);
• comprendendo che se i due amici avessero lo stesso numero di biglie ognuno di essi ne avrebbe 43 (86 ÷ 2), ma essendo 14 la differenza tra il numero di biglie di uno e quelle dell’altro, a questa metà si deve aggiungere 7 per ottenere le biglie che ha ora Luigi (43 + 7 = 50) e togliere 7 per avere le biglie che ha ora Andrea (43 – 7 = 36).

- Trovare il numero delle biglie che avevano 12 settimane prima sottraendo dal numero di biglie che hanno ora quello delle biglie acquistate da ognuno dei due: Andrea 36 – 24 = 12 e Luigi 50 – 12 = 38

Oppure

- Capire che l’ultima volta che si erano incontrati avevano 36 (= 12 + 24) biglie in meno e quindi avevano 50 biglie (= 86 – 36) in totale.

- Dedurre che Andrea e Luigi avevano un numero diverso di biglie perché se avessero avuto 25 (= 50 ÷ 2) biglie ciascuno, dovrebbero avere oggi 25 + 12 = 37 Luigi e 25 + 24 = 49 Andrea, ma così la somma sarebbe ancora 86 mentre la differenza sarebbe 12 anziché 14.

- Procedere per tentativi organizzati cercando due numeri la cui somma sia 50 che soddisfino i dati del problema e scoprire che ciò avviene solo quando si attribuiscono 38 biglie a Luigi e 12 biglie ad Andrea perché 38 + 12 = 50 (le biglie di Luigi oggi), 12 + 24 = 36 (le biglie di Andrea oggi); 50 + 36 = 86 (le biglie di entrambi oggi) e 50 –36 = 14 (differenza tra le biglie di uno e dell’altro oggi). In tutti gli altri casi ciò non si verifica.

Oppure

- Dopo aver calcolato come sopra il numero delle biglie iniziali (50), rendersi conto che poiché alla fine Luigi ne ha 14 in più di Andrea, vuol dire che inizialmente Luigi ne aveva 26 in più di Andrea. Concludere allora che Andrea aveva 12 (= (50 – 26) ÷ 2) biglie e Luigi ne aveva 38 (= 12 + 26).

Risultati

29.F.08

Punti attribuiti su 168 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (Luigi 38, Andrea 12) con procedimento chiaro e completo (calcoli tutti evidenziati)
• 3 punti: Risposta corretta con procedimento non chiaro o incompleto oppure con solo verifica
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazioni
  oppure risposta 24 e 26 perché si confonde Luigi con Andrea (50 – 2 × 12 = 26 e 36 – 12 = 24)
  oppure risposta Luigi 50 e Andrea 36 perché dimenticato di togliere le biglie aggiunte nelle 12 settimane
• 1 punto: Inizio di procedimento corretto (per esempio trovato il totale delle biglie che avevano inizialmente: 50)
• 0 punto: Incomprensione del problema