Banque de problèmes du RMT
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Trouver un nombre naturel tel que la somme de sa moitié, de des deux tiers, de ses trois cinquièmes et de ses trois quarts soit égale à 604
Appropriation
Comprendre que les fractions données, « la moitié », « les deux tiers », "trois cinquièmes" et "trois quarts" se rapportent chacune au nombre total des poules qui est encore indéterminé et sera l'objet de la question. Ces fractions vont permettre de calculer le nombre d'oeufs pondus chaque jour, qui additionnés, donneront les 604 œufs pondus en quatre jours. Ceci devrait permettre de passer du poulailler, des poules et des oeufs à une relation entre nombre qui se traduit: «Quel est le nombre dont la moitié, les deux tiers, les trois cinquièmes et les trois quarts additionnés est 604.
Procédures
- Par essais: en éliminant progressivement les nombres qui aboutissent à des nombres non naturels. Par exemple il faudra éliminer les nombres impairs car la moitié (lundi) donnerait des « demi-poules » ou des demi-œufs » puis éliminer les nombres qui ne sont pas des multiples de 3 car les deux-tiers (mardi) donneraient des « tiers de poules », …On arrive ainsi à se convaincre que les nombres à essayer sont les multiples de 60 (multiples communs de 2, 3, 5 et 5). Les essais peuvent commencer à ce moment (pour autant qu’on soit capable de calculer « la moitié, les deux tiers, les trois cinquièmes et les trois quarts » de 60) et aboutissent, à 151 œufs pour l’essais de 60 poules, … et 604 œufs pour 240 (le 4e multiple de 60) et donc à la réponse 240 poules.
- Une procédure arithmétique généralisé consiste à passer dans le domaine des rationnels (où les fractions ne sont plus des opérateurs mais des « nombres » à part entière qu’on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser). La tâche mathématique exige alors la maîtrise des quatre opérations avec des fractions : transformation en fractions de dénominateur commun 30/30, 40/60, 36/60, 45/60) addition, (151/60) pour arriver à la multiplication lacumaire : ... x(151/60) = 604 puis à la division 604 ÷ 151/60 = 240.
- La procédure algébrique, est identique à la précédente, avec l’écriture de l’inconnue par une lettre et la connaissance des règles de résolution de l’équation x/2 + 2/3 x + 3/5 x + 3/4 x = 604.
Savoirs mobilisés
- les fractions: calculer une fraction d'un nombre naturel, additionner des fractions après avoir trouvé un dénominateur commun, multiples communs, plus petit multiple commun
- calcul algébrique, résolution d'une équation du premier degré
fraction, nombre rationnel, somme, équation, nombre naturel, addition
Points attribués sur 2233 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 708 (62%) | 109 (10%) | 79 (7%) | 116 (10%) | 123 (11%) | 1135 | 0.98 |
| Cat 8 | 342 (48%) | 58 (8%) | 77 (11%) | 88 (12%) | 148 (21%) | 713 | 1.5 |
| Cat 9 | 59 (30%) | 11 (6%) | 15 (8%) | 25 (13%) | 90 (45%) | 200 | 2.38 |
| Cat 10 | 39 (21%) | 3 (2%) | 9 (5%) | 9 (5%) | 125 (68%) | 185 | 2.96 |
| Total | 1148 (51%) | 181 (8%) | 180 (8%) | 238 (11%) | 486 (22%) | 2233 | 1.43 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les résultats précédents montrent une "incompréhension" du problème majoritaire en catégorie 7 et de la moitié des groupes d'élèves en catégorie 8. On ne peut pas savoir s'il s'agit de la difficulté à s'approprier la situation (passage de la réalité du poulailler, des poules et de la fréquence de ponte à sa "traduction" arithmétique en nombres d'oeufs.
Au cas où les élèves cherchent à organiser les essais à partir d'un nombre hypothétique d'oeufs pondus le lundi, ils doivent choisir un nombre dont la moitié est un nombre entier, c'est-à-dire un nombre pair; à cette condition il faut ajouter celle du mardi qui impose que le nombre hypothétique de départ soit divisible par 3, ... Les conditions s'accumulent ainsi et restreignent les choix pour le nombre hypothétique de départ à partir duquel on pourra organiser les essais. L'obstacle est alors dans la prise en compte simultanée de conditions que des élèves de catégories 7 et 8 ne sont pas encore capables de gérer.
C'est l'examen des copies rendues par les élèves qui pourra permettre de comprendre la véritable nature des obstacles.
Le problème n'en est plus un pour des élèves de catégorie 10 qui maîtrisent la résolution d'équations du premier degré; mais on se rend compte que pour toutes les autres catégories, une discussion commune des procédures de résolution, même à peine ébauchées, permettra de "débloquer" le processus d'appropriation et "d'entrer" dans une recherche organisée.