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Banca di problemi del RMTal37-it |
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Trovare un numero tale che la somma della sua metà, dei suoi due terzi, dei suoi tre quinti e dei suoi tre quarti sia uguale a 604.
Appropriazione
Comprendere che le frazioni date, «la metà», «i due terzi», corrispondono ogni volta al numero totale delle galline che è ancora indeterminato e sarà oggetto delle questione. Queste frazioni permetteranno di calcolare il numero di uova deposte ogni giorno, che sommate daranno 604 uova deposte in quattro giorni. Questo dovrebbe permetterci di passare dal pollaio, dalle galline e dalle uova ad una relazione tra numeri che si traduce: “Qual è il numero di cui sommati la metà, due terzi, tre quinti e tre quarti è 604.
Procedure
- Per tentativi: eliminando sistematicamente i numeri che non funzionano poiché portano a dei numeri non naturali. Per esempio, bisognerà eliminare i numeri dispari poiché la metà (lunedì) darà delle (mezze galline» o delle «mezze uova», poi eliminare i numeri che non sono multipli di 3 poiché i due terzi (martedì) darebbero dei «terzi di gallina», … Si arriva così a convincersi a questo punto che i numeri da provare sono i multipli di 60 (multipli comuni di 2, 3, 4, 5). I tentativi possono cominciare a questo punto (se si può calcolare «la metà, i due terzi, i tre quinti e i tre quarti» di 60), si arriva a 151 uova per il tentativo con 60 galline, …e 604 uova con 240 galline (il quarto multiplo di 60) e quindi alla risposta 240 galline.
- Una procedura aritmetica generalizzata consiste nel passare all’insieme dei razionali (in cui le frazioni non sono più degli operatori ma «numeri» che si possono addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere). Il compito matematico esige allora la padronanza delle quattro operazioni con le frazioni: trasformazione in frazioni di denominatore comune, (30/30, 40/60, 36/60, 45/60) la qui somma à (151/60) per arrivare alla moltiplicazione: ? x(151/60) = 604 poi alla divisione (604 ÷ 151/60 = 240).
- La procedura algebrica, è identica alla prevedente, con la scrittura dell’incognita con una lettera e la conoscenza delle regole di risoluzione dell’equazione x/2 + 2/3 x + 3/5 x + 3/4 x = 604
Saperi mobilitati
- frazioni: calcolare una frazione di un numero naturale, addizionare le frazioni dopo aver trovato un denominatore comune, multipli comuni, minimo comune multiplo
- calcolo algebrico, risoluzione di un'equazione di primo grado
razione, numero razionale, somma, equazione, numero naturale, addizione
Punteggi attribuiti su 2233 classi di 20 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 7 | 708 (62%) | 109 (10%) | 79 (7%) | 116 (10%) | 123 (11%) | 1135 | 0.98 |
Cat 8 | 342 (48%) | 58 (8%) | 77 (11%) | 88 (12%) | 148 (21%) | 713 | 1.5 |
Cat 9 | 59 (30%) | 11 (6%) | 15 (8%) | 25 (13%) | 90 (45%) | 200 | 2.38 |
Cat 10 | 39 (21%) | 3 (2%) | 9 (5%) | 9 (5%) | 125 (68%) | 185 | 2.96 |
Totale | 1148 (51%) | 181 (8%) | 180 (8%) | 238 (11%) | 486 (22%) | 2233 | 1.43 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
I risultati precedenti mostrano un “incomprensione del problema" della maggioranza nella categoria 7 e della metà dei gruppi di allievi della categoria 8. Non possiamo sapere se si tratti della difficoltà ad appropriarsi della situazione (passaggio dalla realtà del pollaio, delle galline e della frequenza delle deposizioni alla sua "traduzione" aritmetica in numero di uova.
Nel caso in cui gli allievi vogliano organizzare le tentativi sulla base di un ipotetico numero di uova deposte il lunedì, dovranno scegliere un numero di cui la metà sia un numero intero, cioè un numero pari; a questa condizione bisogna aggiungere quella di martedì che richiede che l'ipotetico numero di partenza sia divisibile per 3, ... Le condizioni così si accumulano e restringono le scelte per l'ipotetico numero di partenza a partire dal quale si potra organizzare le tentativi. L’ostacolo sta allora nel tenere conto contemporaneamente delle condizioni che gli allievi delle categorie 7 e 8 non sono ancora in grado di gestire.
È l'esame dei elaborati restituite dagli allievi che permetterà di comprendere la vera natura degli ostacoli.
Il problema non è più un "problema" per gli allievi della categoria 10 che hanno imparato a risolvere le equazioni di primo grado; ma ci rendiamo conto che per tutte le altre categorie una discussione comune delle modalità di risoluzione, anche solo delineata, consentirà di “sbloccare” il processo di appropriazione e di “entrare” nella ricerca organizzata.
(c) ARMT, 2022-2025