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Un livre passionnant

Identification

Rallye: 31.F.13 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: AL, OP
Familles:

Résumé

Trouver un nombre entier N qui, ajouté à son triple, puis au double de son triple, puis de nouveau à son triple et finalement de nouveau au double de son triple, donne 114.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation

Comprendre que le livre est composé de 114 pages, que Mathias le lit en entier en cinq jours et que le nombre de pages lues chaque jour dépend directement du mobre de pages lues le lundi.

Procédures

Il n'y a que trois procédures à envisager:

- Par essais, à partir du nombre de pages lues lues le lundi: par exemple 5 qui conduit à 5 + 15 + 30 + 15 + 30 = 95, nombre plus petit que 114 et q'il faudra donc augmenter, pour arriver à 6 le lundi, qui conduit 6 + 18 + 36 + 18 + 36 = 114.

- Par un raisonnement pré-algébrique généralisà à tous les essais en constatant que la somme des nombres est 19 fois le nombre du luundi (1 + 3 + 6 + 3 + 6 = 19) puis par la division de 114 par 19 ou la multiplication lacunaire ... x 19 = 114.

- Par la traduction de l'énoncé en équation du gernre x + 3x + 6x + 3 x + 6x = 19x

Savoirs mobilisés

- l'addition, les calculs du triple, double et moitié, la résolution d'une équation du premier degré

Notions mathématiques

somme, équation, nombre naturel, addition, triple, double, moitié

Résultats

31.F.13

Points attribués sur 222 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	5 (7%)	2 (3%)	4 (5%)	24 (32%)	40 (53%)	75	3.23
Cat 7	2 (3%)	0 (0%)	1 (1%)	25 (33%)	48 (63%)	76	3.54
Cat 8	1 (1%)	2 (3%)	1 (1%)	7 (10%)	60 (85%)	71	3.73
Total	8 (4%)	4 (2%)	6 (3%)	56 (25%)	148 (67%)	222	3.5
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (6 pages) avec des explications claires et complètes de la procédure suivie et détaillée des calculs
3 points: Réponse correcte avec des explications partielles ou peu claires ou avec seulement une vérification
2 points: Réponse correcte sans explications
ou réponse fausse à cause d’une erreur de calcul, mais procédure bien expliquée
1 point: Début de raisonnement correct (par exemple seulement une représentation graphique ou bien quelques essais cohérents)
0 point: Incompréhension du probleme

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats précédents montrent que le problème n'en est plus un pour des élèves de classes finalistes de catégories 6 à 8.

Exploitations didactiques

Le problème peut être proposé en classes de catégories inférieures pour organiser les procédures par essais ou en catégories 5 et 6 pour faire apparaître la perception pré-algébrique de la transformation d'une somme de multiples d'un nombre en produit par distributivité (ou mise en évidence).

Voir Oranges (30.I.02, cat 3-4), Les prunes (25.II.11, cat 5-7) et de nombreux autres de la famille SP - Traiter des suites proportionnelles

Banque de problèmes du RMT