Olympiades de calcul (I)

Identification

Rallye: 31.I.10 ; catégories: 6, 7 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• AA/TN - Trouver un nombre
• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• ALG - Utiliser un algorithme

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Résumé

Trouver le nombre de départ d’une séquence de deux opérations « diviser par 3 » puis « ajouter 5 » répétée quatre fois de suite dans cet ordre et aboutissant au nombre 8.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

Comprendre le déroulement chronologique des deux opérations « diviser par 3 » puis « ajouter 5 » à partir d’un nombre de départ encore indéterminé, qui sont effectuées quatre fois, toujours à partir du dernier résultat obtenu, pour aboutir à 8.

- Une procédure est de remonter dans le temps, étape par étape, en partant de l’arrivée, 8, pour revenir au nombre de départ en respectant l’ordre rétrograde des opérations et en les inversant : « soustraire 5 » devient la première opération, inverse de « d’ajouter 5 » et « multiplier par 3 » devient la deuxième, inverse de « diviser par 3 ». On obtient ainsi 48 comme nombre de départ : (8 – 5) = 3 ; 3 x 3 = 9 ; puis 9 – 5 = 4 ; 4 x 3 = 12 ; puis 12 – 5 = 7 ; 7 x 3 = 21, puis 21 – 5 = 16 ; 16 x 3 = 48

- Une autre procédure est celle des essais successifs à partir du nombre de départ en suivant les opérations dans l’ordre donné, en partant d’un multiple de 3 pour que la première division par 3 donne un nombre naturel. Cette procédure peut être longue : elle demande d’avoir compris que le nombre d’arrivée étant 8, tous les résultats intermédiaires sont des nombres entiers et nécessite une organisation réfléchie car il faut renoncer à l’essai chaque fois qu’apparaît un nombre qui n’est pas un multiple de 3 obtenu après la deuxième opération « ajouter 5 ». Il faut donc 16 essais au minimum en partant de multiples de 3 pour arriver à 48.

Notions mathématiques

addition, soustraction, multiplication, division, essai,

Résultats

Sur 2174 classes de 20 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte, « 48 », avec une description claire de la procédure suivie, par essais (la vérification à partir de 48, et la mention qu’il y a eu d’autres essais) ou en remontant dans le temps, (avec les détails des calculs effectués)
• 3 points: Réponse correcte avec une description partielle ou peu claire de la procédure (seulement la suite des calculs de 48 à 8 comme vérification sans décrire les autres essais ou avec une description partielle)
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication
  ou réponse erronée « 21 », avec seulement trois des quatre passages, avec explications claires
  ou réponse avec erreur de calcul mais avec explications cohérentes
• 1 point: Début de recherche cohérente (essais qui respectent les conditions mais n’aboutissent pas à la réponse)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce problème est tiré de Pièces d'or(07.F.08, cat 4-5)