Le droguiste

Identification

Rallye: 15.II.14 ; catégories: 7, 8, 9 ; domaine: AL
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• ECH - Effectuer des échanges
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Déterminer le poids de safran que peut contenir 3 sachets de grandeurs différentes sachant qu’avec 14 grammes de safran, on peut confectionner 12 petits sachets et 4 grands, ou 4 grands et 4 moyens, ou 5 moyens, 5 petits et 2 grands.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Se rendre compte que, puisque chaque groupe de sachets a un poids de 14 grammes, ils sont égaux deux à deux (en poids) et qu’on peut donc tirer profit des égalités entre deux groupes.

- Observer que les deux premiers groupes de sachets ont le même nombre de grands sachets et qu’on peut donc procéder facilement, par « soustraction » de 4 grands dans chacun des groupes pour se convaincre que 12 petits sachets correspondent à 3 moyens puis, par « division par 3 », que 3 petits correspondent à 1 moyen.

- En comparant le deuxième et le troisième groupe et en « soustrayant » de chacun d’eux 4 moyens et 2 grands, on arrive à « 2 grands équivalent à 1 moyen et 5 petits », puis, par substitution de 1 moyen par 3 petits (équivalence précédente), on arrive à « 2 grands équivalent à 8 petits » puis « 1 grand équivaut à 4 petits ».

- Exprimer chaque groupe au moyen d’un même sachet-unité, par substitutions, pour voir que chacun d’eux est équivalent à 28 petits, (ou 7 grands) et en déduire le poids de chaque type de sachet, en grammes : Pour les petits, 14:28=0,5; pourlesgrands14:7=2etpourlesmoyens3x0,5=1,5.

Ou : Émettre des hypothèses sur les poids des sachets convenant à un groupe et les vérifier sur les autres groupes. Par exemple, choisir pour le deuxième groupe g = 2,5 et m =1 (car 4 x 2,5 + 4 x 1 = 14), tirer la valeur de p du premier groupe 12p = 14 – 10 = 4 => p = 1/3, vérifier que le troisième groupe a un poids différent de 14, puis faire un autre choix. Avec l’hypothèse p = 2 et m = 1,5 on trouve p = 0,5 qui satisfait la relation du troisième groupe, mais sans assurer l’unicité de la solution.

Ou : procéder algébriquement par un système de trois équations et trois inconnues à résoudre par comparaison ou substitution.

Notions mathématiques

opération, proportionnalité, équivalence, système d’équations

Résultats

15.II.14

Points attribués sur 79 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (0,5g, 1,5g, 2g) avec explications claires et complètes (démarche par équivalences et substitutions conduisant à une seule solution)
• 3 points: Réponse correcte obtenue par essais et une seule vérification sans recherche d’autres solutions ou réponse correcte avec explications partielles
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou explications claires mais avec une erreur de calcul
• 1 point: Début de raisonnement (découverte d’une équivalence, ...)
• 0 point: Incompréhension du problème