Olympiades de calcul (II)

Identification

Rallye: 31.I.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• AA/TN - Trouver un nombre
• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• ALG - Utiliser un algorithme

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Trouver les nombres naturels inférieurs à 10 000 qui aboutissent à 8 par la répétition de la séquence des deux opérations « diviser par 3 » puis « ajouter 5 ».

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre le découlement chronologique des deux opérations « diviser par 3 » puis « ajouter 5 à partir d’un nombre de départ encore indéterminé, qui sont effectuées une ou plusieurs fois de suite, toujours à partir du dernier résultat obtenu pour aboutir à 8.

- La procédure la plus efficace est de remonter dans le temps, étape par étape, en partant de l’arrivée, 8, pour retourner au nombre de départ en respectant l’ordre rétrograde des opérations et en les inversant c’est-à-dire en répétant la séquence « soustraire 5 » puis « multiplier par 3 ».

- Effectuer les nouvelles opérations inverses dans le nouvel ordre : (8 – 5) = 3 ; 3 × 3 = 9 ; puis 9 – 5 = 4 ; 4 × 3 = 12 ; puis 12 – 5 = 7 ; 7 × 3 = 21, puis 21 – 5 = 16 ; 16 × 3 = 48 … pour obtenir ainsi la suite des neuf nombres 9, 12, 21, 48, 129, 372, 1101, 3288 et 9849.

- Une autre procédure serait de trouver la fonction qui donne les nombres de départ à partir de 8, selon le nombre de répétitions : 8 ; 9 = 8 + 1 ; 12 = 8 + 1 + 3 ; 21 = 8 + 1 + 3 + 9 ; 48 = 8 + 1 + 3 + 9 + 27 … : somme de 8 et des n puissances successives de 3 où n représente le nombre de répétitions des deux opération « soustraire 5 » suivie de « multiplier par 3 ».

Notions mathématiques

addition, soustraction, multiplication, division, essai,

Résultats

Sur 1228 classes de 20 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte 9, en une fois ; 12 en deux fois, 21 en trois fois ; 48 en quatre fois, 129 en cinq fois en , 372 en six fois, 1101 en sept fois, 3288 en huit fois et 9849 en neuf fois, avec une description claire de la procédure suivie, ou des détails des calculs ou des essais effectués
• 3 points: Réponse correcte avec une description partielle ou peu claire de la procédure ou absence de calculs ou essais
  ou réponse avec description claire mais avec une nombre de départ manquant (et huit corrects) ou erreur de calcul
• 2 points: Réponse correcte sans procédures ni calculs mais avec une vérification (par ex. recherche à partir de multiples de 12)
  ou réponse avec description claire mais avec deux ou trois nombre de départ manquants (et six ou sept corrects) ou avec erreurs de calcul
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple essais qui ne conduisent pas à une solution )
  ou réponse partielle avec au moins deux solutions
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce problème est tiré de Pièces d'or(07.F.08, cat 4-5)