Vases de terre cuite

Identification

Rallye: 31.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: AL, OPN
Familles:

• AA - Passer de l'arithmétique à l'algèbre
• ECH - Effectuer des échanges
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Dans un contexte de vente de vases, déterminer trois nombres naturels p, m, g sachant que m = 3p, g = 2m tels que 6p + 2m + 4g = 10p + 3m + g + 253.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- L’appropriation du problème consiste à envisager les relations entre les prix des trois types de vases et comprendre que le prix d'un type d’un vase peut également être pris comme unité de mesure pour le prix d'autres types de vases.

- Choisir par exemple le prix du petit vase comme unité de mesure et trouver (à l'aide d'une représentation graphique ou par déductions des trois premières relations) que le prix d'un vase moyen est trois fois celui d'un petit vase (puisque le prix d'un petit vase est le tiers du prix d'un vase moyen), et que le prix d'un grand vase, est six fois celle d'un petit vase.

- Les calculs peuvent s’effectuer par la « traduction » mot à mot de la comparaison des prix des deux jours : « hier » 6 petits, 2moyens, 4 grands et « aujourd’hui » 10 petits, 3 moyens, 1 grand, augmentée de 253 ; puis par les substitutions nécessaires pour exprimer la comparaison en prix des petits vases :

d’un côté, les prix de 6 petits, plus 2 fois 3 petits, plus 4 fois 6 petits donnent 36 petits

de l’autre, les prix de10 petits, plus 3 fois 3 petits, plus 6 petits qui donnent 25 petits

la différence de 11 petits correspond à 253 €, on peut en déduire que le prix d’un petit est 253 : 11 = 23 (€).

- Il ne reste plus qu’à déterminer les prix des autres vases : le moyen 69 € et le grand 138 €

Ou, par algèbre poser et résoudre l’équation 6p + 2m + 4g = 10p + 3m + g + 253, la transformer par substitutions en 6p + 6p + 24 p = 10p + 9p + 6p + 253 pour arriver à 11p = 253, et en déduire p = 23, comme précédemment.

Notions mathématiques

prix, euro, double, égalité, substitution, division, équation

Résultats

31.I.14

sur 2461 classes de 20 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « petit vase 23 euro, vase moyen 69 euro, grand vase 138 euro », avec description claire et complète de la procédure (arithmétique ou algébrique, avec détails des calculs)
• 3 points: Réponse correcte avec description partielle ou seulement une vérification
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de calcul ou à une interprétation partielle des relations en jeu
  ou développement correct de la détermination de l’équivalence des recettes du premier ou du second jour : respectivement de 25 et de 36 petits vases
  ou pose correcte de l’équation, sans la résoudre
• 1 point: Début de recherche cohérent (compréhension des conditions à respecter, sans pour autant arriver à la conclusion)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

inspiré du problème Les sacs d'école(09.II.11;cat. 5-8)