La récolte des noix (II)

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Rallye: 31.F.21 ; catégories: 9, 10 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ2 - Résoudre une équation du 2e degré
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

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Résumé

Déterminer trois nombres naturels dont la somme est 447, tels que le deuxième vaut 12 de plus que le premier et que le troisième soit le produit des deux premiers.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

La tâche d'appropriation consiste à prendre en compte les données de l'énoncé : un premier nombre encore indéterminé, un deuxième qui vaut 12 de plus que le premier, un troisième qui est le produit du premier et du deuxième et la somme des trois, égale à 447.

Les savoirs se limitent à l'addition et la multiplication de nombres naturels et, éventuellement, la mise en équation et la résolution d'une équation du deuxième degré.

Il y a deux types de procédures envisageables:

- par essais successifs, en s'intéressant en priorité au nombre du 3e jour : le produit de deux nombres qui diffèrent de 12, qui doit être inférieur à 447 ; pour aboutir à 15 x 27 = 405 et 15 + 27 + 405 = 447;

- par algèbre: n + (n + 12) + n(n + 12) = n$^2$ + 14n + 12 = 447 ou n$^2$ + 14n - 435 = 0 dont les deux solutions sont -29 (à exclure car non naturel) et 15, à retenir.

Conclure qu'Anna a récolté 15 noix le premier jour et 27 le deuxième jour.

Notions mathématiques

addition, soustraction, multiplication, division, essai,

Résultats

Sur 54 classes de 8 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (27 noix) avec explication claire de la procédure suivie (par essais et erreurs montrant au moins deux tentatives en plus de la bonne, ou procédure algébrique avec calculs pertinents)
• 3 points: Réponse correcte avec explication incomplète, tentatives non explicitées ou seulement une vérification
• 2 points: Réponse correcte sans explication,
  ou réponse fausse due à une erreur de calcul dans la résolution de l'équation
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple, quelques essais)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Comme le montrent les résultats ci-dessus, "il n'y a pas de problème" pour des élèves finalistes de catégories 9 et 10.

Une analyse a posteriori pourrait déterminer la fréquence des procédures arithmétiques (par essais) et algébriques. Au vu de la simplicité des relations entre les trois nombres, la première procédure est élémentaire et quelques essais suffisent, surtout si les élèves utilisent une calculatrice.

Le problème pourrait être proposé dès la catégorie 5 et 6, comme "exercice de calcul".