Banque de problèmes du RMT
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Les nombres entiers (supérieurs à 0) sont énumérés horizontalement dans un tableau de 13 colonnes. Vérifier si l’on peut découper dans ce tableau deux "carrés" de 3 x 3 nombres dont les sommes valent respectivement 900 et 1062.
Analyse a priori
- Vérifier que la somme des neuf nombres inclus dans le cadre de la figure est 297, puis observer que, lorsqu’on le déplace, la somme de ces nombres varie.
- Calculer la somme dans d’autres positions pour comprendre comment elle varie. En organisant ces calculs de manière systématique on constate que la somme des 9 premiers nombres encadrés est 135 puis, par déplacements successifs du cadre vers la droite d’une colonne à la fois, cette somme devient 144 puis 153, 162, … 225 (progression arithmétique de raison 9).
Verticalement, les déplacements successifs du cadre d’une ligne à la fois font apparaître des différences de 117 (39 x 3 ou 13 x 9 selon la manière de compter) : 135, 252, 369, ...
En combinant ces déplacements verticaux avec des déplacements horizontaux on peut arriver à 900 (sans même constater que les sommes sont des multiples de 9).
Ou, après avoir effectué plusieurs vérifications, constater que la somme des 9 nombres vaut 9 fois le nombre du centre ou que le nombre du centre est la moyenne des 9 nombres. Il suffit alors de recherche 100 pour le cadre de somme 900 et 118 (1062 : 9) pour le cadre de somme 1062.
Les nombres centraux étant connus, il faut déterminer leur position dans le tableau, pour pouvoir répondre à la demande de l’énoncé et, simultanément, vérifier qu’ils ne sont pas sur la première ou la dernière colonne (parce que dans chacun de ces deux cas, il ne serait pas possible de placer le cadre). Lorsqu’on a compris l’importance des deux nombres 9 et 13 dans cette situation (tableau de lignes de 13 nombres, cadres de 9 nombres), une méthode possible est de se référer au reste et au quotient d’une division euclidienne par 13 pour situer le centre :
- Conclure que la somme de 900 s’obtient avec le cadre sur les lignes 7, 8, 9 sur les colonnes 8, 9, 10, et qu’il n’est pas possible d’obtenir une somme de 1062 car 118 est sur la première colonne et un cadre centré sur 118 n’entourerait pas 9 nombres.
Ou bien :
- Observer que les nombres présents sur chaque colonne sont en progression arithmétique de raison 13 puisque sur chaque ligne il y a 13 nombres consécutifs. Dans un cadre de 3 x 3, comme celui de la figure, si n désigne le nombre en haut à gauche, les deux autres sur la même ligne sont n + 1 et n + 2. Dans la ligne suivante, les nombres du cadre sont n + 13, (n + 1) + 13, (n + 2) + 13 et dans la troisième, ces nombres sont : n + 26, (n + 1) + 26, (n + 2) + 26. Par conséquent leur somme est égale à 9 n + 126.
Ou bien:
- Comprendre que la somme des neuf nombres entourés par un cadre carré peut être obtenue par le triple de la somme des 3 nombres situés sur trois lignes consécutives ;
Chacune de ces sommes de 3 nombres situés sur trois lignes consécutives est le triple du nombre central ;
En passant de la première à la seconde ligne et de la seconde à la troisième ligne, le nombre central de la première ligne est augmenté de 13 puis de 26 respectivement.
- Faire alors quelques essais pour obtenir la somme 900. Par exemple avec le nombre 68 considéré comme nombre central du premier triplet, on aura : 3 x 68 + 3 x (68 + 13) + 3 x (68 + 26) = 204 + 243 + 282 = 729 comme somme des neuf nombres de ce cadre : trop faible. On essaie ensuite 93 et on obtient 279 + 318 + 357 = 954, trop fort.
Avec des essai mieux ajustés, on arrive à 87 qui donne 261 + 300 + 339 = 900.
- Contrôler ensuite que le cadre avec le nombre 87 dans la position centrale du premier triplet peut être placé dans le tableau, constater que c’est possible et que ce cadre est formé des nombres qui se trouvent sur les lignes 7, 8, 9 et sur les colonnes 8, 9, 10.
Par la même procédure, constater que 1062 peut être obtenu avec le nombre 105 (en effectuant 3 x 105 + 3 x (105 + 13) + 3 x (105 + 26) = 315 + 354 + 393 = 1062), mais ce nombre se trouve au début de la onzième ligne du tableau, il n’est ainsi pas possible de placer le cadre correspondant.
multiples, moyenne, suite, langage algébrique, équation du premier degré
Points attribués, sur 707 classes de 19 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 111 (23%) | 53 (11%) | 131 (27%) | 97 (20%) | 96 (20%) | 488 | 2.03 |
| Cat 9 | 20 (16%) | 18 (14%) | 37 (29%) | 20 (16%) | 31 (25%) | 126 | 2.19 |
| Cat 10 | 17 (18%) | 8 (9%) | 28 (30%) | 12 (13%) | 28 (30%) | 93 | 2.28 |
| Total | 148 (21%) | 79 (11%) | 196 (28%) | 129 (18%) | 155 (22%) | 707 | 2.09 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2011-2024