Une spirale particulière

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Rallye: 20.I.15 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: FN
Familles:

• PRG - Traiter des progressions
• PRG/PA - Traiter des progressions arithmétiques

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Résumé

Calculer la somme des 50 premiers termes de deux progressions arithmétiques (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49), à partir du dessin d’une « spirale » sur quadrillage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les règles de construction de la spirale et se rendre compte que les mesures des segments en cm, aussi bien horizontaux que verticaux, augmentent chaque fois de 1 cm.

- Observer que la mesure des segments verticaux est 1, 2, 3, 4... et celle des segments horizontaux est 6, 7, 8, 9... , constater que la mesure du n-ième segment horizontal est n + 5 et que, par conséquent la longueur du cinquantième segment horizontal est 50 + 5 = 55 cm, ou, par un raisonnement analogue, 49 + 6 = 55.

- Exprimer la longueur totale de la spirale, ou se rendre compte qu’elle est la somme de deux progressions arithmétiques : (6 + 7 + … 54 + 55) + (1 + 2 + 3 + … + 48 + 49) et effectuer les additions une à une calculatrice (avec un grand risque d’erreur, même en utilisant la calculatrice).

Ou mettre en œuvre des propriétés des opérations : commutativité, associativité et distributivité, permettant de simplifier les calculs en regroupant des termes ou transformant des sommes en produits. Par exemple : en associant par deux les termes de chaque suite (à partir du début et de la fin) pour obtenir des sommes partielles constantes : (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49) = (6 + 55) + (7 + 54) + … + (1 + 48) + (2 + 47) + … = = 61 x 25 + 49 x 25 = 110 x 25 = 2750

ou en regroupant les termes des deux suites deux à deux 6 + 1 + 7 + 2 + 8 + 3 + … + 54 + 49 + 55 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49) + (1 + 2 + 3 + 4 +… + 49) + 6 x 50 = 2 x (1+2+3+4+….+49) + 6 x 50, puis comme précédemment, par association et distributivité, arriver à 49 x 50 + 6 x 50 = 55 x 50 = 2750.

Notions mathématiques

suite arithmétique, somme des termes

Résultats

20.I.15

Points attribués sur 1652 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (2750 cm) avec explications claires (calculs détaillés)
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires
  ou réponse correcte avec explication claire et une seule erreur de calcul ou de détermination des longueurs des derniers segments
• 2 points: Réponse correcte, sans explications
  ou deux erreurs ou imprécisions
• 1 point: Début de raisonnement correct ou réponse avec plus de deux erreurs
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le problème n’est pas à la portée d’élèves de catégorie 7 (57% d’incompréhension) voire de catégorie 8.

Il faut aller plus loin dans l’analyse des copies de ce problème pour mieux percevoir les difficultés ou obstacles : détermination des premiers termes des deux progressions, détermination du dernier terme de chacune d’entre elles, calcul des sommes, utilisation des propriétés des opérations (associativité et distributivité) ,,, ?

Il semblait, lors de l’analyse de la tâche a priori, que les règles de construction de la spirale étaient assez faciles à comprendre et qu’on en tirait facilement les termes de la (ou les) suite(s) de nombres.