Banque de problèmes du RMT
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Calculer la somme des 50 premiers termes de deux progressions arithmétiques (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49), à partir du dessin d’une « spirale » sur quadrillage.
- Comprendre les règles de construction de la spirale et se rendre compte que les mesures des segments en cm, aussi bien horizontaux que verticaux, augmentent chaque fois de 1 cm.
- Observer que la mesure des segments verticaux est 1, 2, 3, 4... et celle des segments horizontaux est 6, 7, 8, 9... , constater que la mesure du n-ième segment horizontal est n + 5 et que, par conséquent la longueur du cinquantième segment horizontal est 50 + 5 = 55 cm, ou, par un raisonnement analogue, 49 + 6 = 55.
- Exprimer la longueur totale de la spirale, ou se rendre compte qu’elle est la somme de deux progressions arithmétiques : (6 + 7 + … 54 + 55) + (1 + 2 + 3 + … + 48 + 49) et effectuer les additions une à une calculatrice (avec un grand risque d’erreur, même en utilisant la calculatrice).
Ou mettre en œuvre des propriétés des opérations : commutativité, associativité et distributivité, permettant de simplifier les calculs en regroupant des termes ou transformant des sommes en produits. Par exemple : en associant par deux les termes de chaque suite (à partir du début et de la fin) pour obtenir des sommes partielles constantes : (6 + 7 + … + 54 + 55) + (1 + 2 + ... + 48 + 49) = (6 + 55) + (7 + 54) + … + (1 + 48) + (2 + 47) + … = = 61 x 25 + 49 x 25 = 110 x 25 = 2750
ou en regroupant les termes des deux suites deux à deux 6 + 1 + 7 + 2 + 8 + 3 + … + 54 + 49 + 55 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49) + (1 + 2 + 3 + 4 +… + 49) + 6 x 50 = 2 x (1+2+3+4+….+49) + 6 x 50, puis comme précédemment, par association et distributivité, arriver à 49 x 50 + 6 x 50 = 55 x 50 = 2750.
suite arithmétique, somme des termes
Points attribués sur 1652 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 475 (57%) | 204 (25%) | 68 (8%) | 52 (6%) | 30 (4%) | 829 | 0.74 |
| Cat 8 | 269 (46%) | 168 (29%) | 61 (10%) | 55 (9%) | 36 (6%) | 589 | 1.02 |
| Cat 9 | 60 (40%) | 30 (20%) | 20 (13%) | 23 (15%) | 18 (12%) | 151 | 1.4 |
| Cat 10 | 29 (35%) | 16 (19%) | 7 (8%) | 15 (18%) | 16 (19%) | 83 | 1.67 |
| Total | 833 (50%) | 418 (25%) | 156 (9%) | 145 (9%) | 100 (6%) | 1652 | 0.95 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Le problème n’est pas à la portée d’élèves de catégorie 7 (57% d’incompréhension) voire de catégorie 8.
Il faut aller plus loin dans l’analyse des copies de ce problème pour mieux percevoir les difficultés ou obstacles : détermination des premiers termes des deux progressions, détermination du dernier terme de chacune d’entre elles, calcul des sommes, utilisation des propriétés des opérations (associativité et distributivité) ,,, ?
Il semblait, lors de l’analyse de la tâche a priori, que les règles de construction de la spirale étaient assez faciles à comprendre et qu’on en tirait facilement les termes de la (ou les) suite(s) de nombres.
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