Toujours plus grands

Identification

Rallye: 23.I.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: FN
Familles:

• DEN - Dénombrer des objets ou des figures
• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

Remarque et suggestion

Résumé

Une suite de figures régulières dessinées sur quadrillage, colorées en noir et en blanc, est donnée par ses trois premiers éléments. Déterminer le rang de la figure dont la différence des aires blanches et noires est 196.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- La première tâche est d’observer les figures pour en repérer les régularités : constantes (carrés blancs des angles, largeur des rectangles extérieurs, la structure en damier) et variables (dimensions, rang des figures : 1, 2, 3, … longueur des bandes extérieures : 2, 4, 6, 8, 10, … le nombre de carré noirs : 1, 4, 9, 16 …,

- La deuxième tâche est de dresser l’inventaire des aires blanches et noires figure par figure pour arriver aux suites numériques des aires successives, noire et blanche, respectivement avec, éventuellement, leur expression en fonction du rang n des figures :

4 × 2 + 1 × 2 = 10 ; 4 × 4 + 4 × 2 = 24 ; 4 × 6 + 9 × 2 = 42 ;  4 × 8 + 16 × 2 = 64 ; … ; (sous forme algébrique : 4 × 2n + n² × 2 = 8n + 2n²)

et 4 + 2 = 6 ;  4 + 4 × 2 = 12 ; 4 + 9 × 2 = 22 ; 4 + 16 × 2 = 36 ; … ; 4 + n2 × 2 = 4 + 2n² (sous forme algébrique: 4 + n² × 2 = 4 + 2n²)

puis de déterminer les différences successives des termes correspondants « pas à pas » 4 ; 12 ; 20 ; … ; 100 ; … ; 180 ; 188 ; 196 ; qui est une progression arithmétique de raison 8 (sous forme algébrique par la différence des deux fonction du rang n des figures : (8n + 2n²) – (4 + 2n²) qui se réduit à une équation expression du premier degré : 8n - 4).

Cette tâche est très sensiblement réduite si l’on remarque que, dans la partie centrale de chaque figure (le damier) les aires des parties blanches et noires sont égales et qu’on peut par conséquent ne pas en tenir compte dans la différence, pour laquelle il suffit de calculer l’aire de la bordure extérieure : les quatre carrés blancs et les quatre rectangles noirs.

- La troisième tâche consiste à déterminer le rang des figures dont la différence est 196 ou à résoudre l’équation, ou à la résolution de l’équation 8n - 4 = 196, d’où n = 25.

Il y a évidemment de très nombreuses autres manières d’arriver au calcul des aires, de leur différence et à la détermination du rang, par listes, tableaux, inventaires, ou autres constatations… jusqu’au passage à l’algèbre

Les savoirs mobilisés sont l’addition, la soustraction, la multiplication de nombres naturels. Les analyses et observations des figures qui permettront la détermination de leurs aires noire et blanche exigent une organisation rigoureuse, débouchant sur la progression arithmétique des différences.

Notions mathématiques

suite, fonction, figure, aire, carré, dénombrements

Résultats

23.I.16

Les résultats sont obtenus à partir de 947 classes de 20 sections.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (25e figure) avec explications claires (pas de différence pour la partie intérieure, progression arithmétique 4 ; 12 ; 20 ; 28 ; … pour les différences)
• 3 points: Réponse correcte (25e figure) avec explications peu claires
  ou réponse 24e figure avec explications claires
• 2 points: Différence entre aires blanches et noires correctement calculée pour les trois premières figures avec une erreur dans sa généralisation
  ou réponse correcte sans explications
  ou réponse 50 qui correspond au nombre de carrés noirs sur le côté de la figure de rang 25 et au raisonnement suivant : la différence des aires des parties noires et blanches est égale à la différence des aires sur les bordures si n désigne le nombre de carrés noirs sur le côté de la figure, la différence d’aire est de 8n – 4 = 196
• 1 point: Début de recherche cohérente
• 0 point: Incompréhension du problème

On relève pour ce problème de gros écarts en catégorie 8 entre les sections des pays avec sélection scolaire précoce, dès l’âge de 12-13 ans (catégories 7 et 8) (Suisse et Luxembourg) et les autres pays (Belgique, France et Italie).

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Dans quelques cas les élèves calculent les nombres totaux de carrés blancs et noirs avec les formules souvent implicites, du genre 4 + 2n² et 8n + 2n² et trouvent la 25e par essais. Exemple : … Pour la 1e figure il y a 10 - 6 = 4 carrés de différence ; pour la 2e 24 - 12 = 12 ; pour la 3e 42 – 22 = 20, … pour la 24e : 1344 - 1156 = 188 ; pour la 25e : 1450 - 1254 = 196

La grande majorité des réussites passe par l’élaboration de la progression arithmétique des différences, et la mise en évidence de sa raison, 8 ; dans certains cas, tous les termes de cette progression sont écrits, jusqu’au 25e qui est 196 ; dans d’autres cas une division par 8 permet d’éviter d’écrire tous les termes.

Les obstacles

Ils ne semblent pas être dus à la lecture de l’énoncé ou à l’appropriation de la situation, ni aux opérations mathématiques, ni encore aux déterminations du nombre de carrés unités, mais plutôt à l’inaptitude à s’engager dans une observation minutieuse des figures et à transférer ces résultats en une suite des différences entre carrés noirs et blancs, figure par figure.

Les erreurs

- Réponse 24 par oubli de la première figure dans la détermination du rang ou par simple division de 196 par 8

- Proportionnalité inadéquate, à partir du premier carré avec réponse 49.

• Si pour le premier on trouve 4 carrés de différence, alors 196 carrés : 4 carrés = 49.
• On multiplie alors les nombres de carrés du premier par 49 : –> 6 x 49 = 294 carrés blancs –> 10 x 49 = 490 carrés noirs

- Confusion entre la différence et l’aire totale due au choix de 196 pour la différence, qui est aussi un carré, et qui aboutit :

• à la réponse 6, car la 6e figure a un côté de 14 (4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; … ) et 142 = 196,
• ou simplement à la réponse 14 car √196 = 14.

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