Un nombre attractif

Identification

Rallye: 24.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: FN
Familles:

• SN - Traiter une suite numérique
• SN/REC - Identifier ou utiliser ou une relation de récurrence

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Résumé

Constater et expliquer la convergence vers 2 de la suite définie par récurrence : u_n+1 = u_n/2 + 1

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche

- Vérifier le début de la suite d’Anne, la continuer pour constater qu’elle s’approche de 2

50 ; 26 ; 14 ; 8 ; 5 ; 3,5 ; 2,75 ; 2,375 ; 2,1875 ; 2,09375 ; 2,046… ; 2,023… ; 2,011… ; 2,005… ; … ; 2,000…

- Construire les suites de Bernard, par exemple à partir de 6 :

6 ; 4 ; 3 ; 2,5 ; 2, 25 ; 2,125 ; 2,062… ; 2,031… ; 2,015… ; 2, 007… ; … ; 2,000…

de Corinne par exemple à partir de 0,5 :

0,5 ; 1,25 ; 1,625 ; 1,812.. ; 1,906… ; 1,953…; 1,976… ; 1,988… ; 1,994… ; 1,997… ; 1,998… ; 1,999… ; …

de Daniel par exemple à partir de -18 :

-18 ; -8 ; -3 ; -0,5 ; 0,75 ; 1,375 ; 1,687… ; 1,843… ; 1,921… ; 1,960…, 1,980… ;

- Comparer les résultats et conclure que le nombre visé est 2 pour chacune des quatre suites car les écarts entre les résultats successifs et 2 sont à chaque fois divisés par 2.

- On peut se convaincre de cette « convergence vers 2 » en construisant de nouvelles suites.

- Une explication possible est de choisir un nombre de départ ou de le désigner par une lettre, par exemple d, puis de calculer les termes successifs de la suite :

d ; d/2 + 1 ; d/4 + 1/2 + 1 ; d/8 + 1/4 + 1/2 + 1 ; d/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1 ; d/32 + 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1 ;

et, par exemple, constater que le premier élément de chaque terme est d divisé successivement par les puissances de 2 (d/2n, n parcourant l’ensemble des nombres naturels) et que, par conséquent, dès le 10e terme il deviendra proche du millième d/1024 ; d/2048 ; … c’est-à-dire négligeable. Les parties des termes à prendre en compte se limiteront à 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/1024 + 1/2048 + …, somme qui s’approche de 2.

Notions mathématiques

suite, progression, convergence, puissances de 2, fraction

Résultats

24.I.19

Points attribués, sur 316 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète (les quatre suites s’approchent de 2 ) avec le détail des suites dont les termes successifs diffèrent de moins d’un centième, (jusqu’à 2,00… ou 1,99…) et une explication pour le cas général s’appuyant sur l’observation que la différence entre les résultats successifs et 2 est à chaque fois divisée par 2 ou apparition de la suite 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….
• 3 points: Réponse complète (les quatre suites s’approchent de 2 ) avec le détail des suites dont les termes successifs ne diffèrent que d’un, dixième près (jusqu’à 2,0… ou 1,9…) avec une explication peu claire pour le cas général
• 2 points: Réponse complète (les quatre suites s’approchent de 2 ) avec seulement deux ou trois suites de calculs itérés
  ou réponse (trois des suites s’approchent de 2) avec une erreur de calcul sur l’autre ou sans l’avoir vérifié, avec détails précis
• 1 point: Deux ou trois suites construites, mais sans conclusion
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Pas d'analyse a posteriori pour l'instant