Un numero attraente

Identificazione

Rally: 24.I.19 ; categorie: 9, 10 ; ambito: FN
Famiglie:

• SN - Gestire una successione numerica
• SN/REC - Identificare o utilizzare una relazione di ricorrenza

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Constatare e spiegare la convergenza verso 2 della successione definita per ricorsione: $u_{n+1} = u_n/2 + 1$.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Verificare l’inizio della successione di Anna, continuare per constatare che i termini si avvicinano sempre di più a 2:

50; 26; 14; 8; 5; 3,5; 2,75; 2,375; 2,1875; 2,09375; 2,046…; 2,023…; 2,011…; 2,005…; … ; 2,000…;

- Costruire la successione di Bernardo, per esempio a partire da 6:

6; 4; 3; 2,5; 2, 25; 2,125; 2,062…; 2,031…; 2,015…; 2, 007…; …; 2,000…

di Caterina, per esempio a partire da 0,5:

0,5; 1,25; ; 1,625; 1,812..; 1,906…; 1,953…; 1,976…; 1,988…; 1,994…; 1,997…; 1,998…; 1,999…; …

di Daniela per esempio a partire da -18 :

-18; -8; -3; -0,5; 0,75; 1,375; 1,687…; 1,843…; 1,921…; 1,960…, 1,980…; …; 1,999…; …

- Confrontare i risultati e concludere che per ciascuna delle quattro successioni il numero a cui ci si avvicina è 2 e che ogni volta gli scarti fra un numero della successione e 2 vengono divisi per 2

- Ci si può convincere di questa “convergenza verso 2” costruendo altre successioni.

- Per una possibile spiegazione si può indicare con una lettera il numero di partenza, per esempio d, poi calcolare i termini della successione:

d; d/2 + 1; d/4 + 1/2 + 1; d/8 + 1/4 + 1/2 + 1; d/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1; d/32 + 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1;

e, per esempio, constatare che il primo elemento di ciascun termine è diviso successivamente per le potenze di 2 (d/2n al variare di n in N), e che, per conseguenza, a partire dal 10° termine si avvicinerà al millesimo d/1024 ; d/2048 ; … cioè trascurabile. Le parti dei termini da prendere in considerazione si limiteranno a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/1024 + 1/2048 + …, somma che si avvicina a 2.

Risultati

24e rally

Punteggi attribuiti su 316 elaborati di 9 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta completa (le quattro successioni si avvicinano a 2) con i dettagli delle successioni i cui termini successivi differiscono di meno di un centesimo (fino a 2,00… oppure 1,99…) e una spiegazione per il caso generale basata sull’osservazione che la differenza fra i risultati successivi e 2 è ogni volta divisa per 2 o comparsa della successione 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….
• 3 punti: Risposta completa (le quattro successioni si avvicinano a 2) con i dettagli delle successioni i cui termini successivi differiscono solamente di un decimo (fino a 2,0… oppure 1,9…) con una spiegazione poco chiara per il caso generale
• 2 punti: Risposta completa (le quattro successioni si avvicinano a 2) con solamente due o tre successioni di calcoli ricorrenti
  oppure risposta “tre successioni si avvicinano a 2” con un errore di calcolo nell’altra o senza averla verificata, con dettagli precisi
• 1 punto: Costruite due o tre successioni, ma senza conclusione
• 0 punto: Incomprensione del problema