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Banca di problemi del RMTfn16-it |
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Constatare e spiegare la convergenza verso 2 della successione definita per ricorsione: $u_{n+1} = u_n/2 + 1$.
- Verificare l’inizio della successione di Anna, continuare per constatare che i termini si avvicinano sempre di più a 2:
50; 26; 14; 8; 5; 3,5; 2,75; 2,375; 2,1875; 2,09375; 2,046…; 2,023…; 2,011…; 2,005…; … ; 2,000…;
- Costruire la successione di Bernardo, per esempio a partire da 6:
6; 4; 3; 2,5; 2, 25; 2,125; 2,062…; 2,031…; 2,015…; 2, 007…; …; 2,000…
di Caterina, per esempio a partire da 0,5:
0,5; 1,25; ; 1,625; 1,812..; 1,906…; 1,953…; 1,976…; 1,988…; 1,994…; 1,997…; 1,998…; 1,999…; …
di Daniela per esempio a partire da -18 :
-18; -8; -3; -0,5; 0,75; 1,375; 1,687…; 1,843…; 1,921…; 1,960…, 1,980…; …; 1,999…; …
- Confrontare i risultati e concludere che per ciascuna delle quattro successioni il numero a cui ci si avvicina è 2 e che ogni volta gli scarti fra un numero della successione e 2 vengono divisi per 2
- Ci si può convincere di questa “convergenza verso 2” costruendo altre successioni.
- Per una possibile spiegazione si può indicare con una lettera il numero di partenza, per esempio d, poi calcolare i termini della successione:
d; d/2 + 1; d/4 + 1/2 + 1; d/8 + 1/4 + 1/2 + 1; d/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1; d/32 + 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1;
e, per esempio, constatare che il primo elemento di ciascun termine è diviso successivamente per le potenze di 2 (d/2n al variare di n in N), e che, per conseguenza, a partire dal 10° termine si avvicinerà al millesimo d/1024 ; d/2048 ; … cioè trascurabile. Le parti dei termini da prendere in considerazione si limiteranno a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + 1/1024 + 1/2048 + …, somma che si avvicina a 2.
Punteggi attribuiti su 316 elaborati di 9 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 9 | 73 (46%) | 36 (23%) | 36 (23%) | 8 (5%) | 5 (3%) | 158 | 0.96 |
Cat 10 | 37 (23%) | 48 (30%) | 52 (33%) | 11 (7%) | 10 (6%) | 158 | 1.42 |
Totale | 110 (35%) | 84 (27%) | 88 (28%) | 19 (6%) | 15 (5%) | 316 | 1.19 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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