Escaliers

Identification

Rallye: 24.II.12 ; catégories: 7, 8, 9 ; domaines: FN, OPN
Familles:

• DEN - Dénombrer des objets ou des figures
• PRG - Traiter des progressions
• PRG/PA - Traiter des progressions arithmétiques
• SF - Etudier des suites de figures
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

Trouver le rang du terme 210 dans la progression arithmétique de premier terme 9 et de raison 3 : 9, 12, 15,… Les trois premiers termes sont définis par le nombre de carrés noirs figurant dans une succession de trois figures formant des ”escaliers”.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

analyse de la tâche a priori

- Observer les figures et compter les carrés noirs : 9, 12, 15.

- Remarquer que d’une figure à l’autre, on ajoute 3 carrés noirs et dessiner une quatrième figure (ou plus) pour le vérifier : 9, 12, 15, 18.

- Écrire la suite des nombres de carrés noirs par escalier (progression arithmétique de raison 3) : 9, 12, 15, 18, 21, 24, … et constater qu’il s’agit des multiples de 3, sauf 3 et 6. Calculer 210 – 9 = 201, puis 201/3 = 67 et 67 + 1 = 68.

- Poursuivre l’écriture jusqu’à 210 et compter les termes de la suite : de 1 à 68, ou calculer le nombre des multiples de 3 jusqu’à 210 : 210 / 3 = 70, ne pas compter le 3 et le 6, trouver ainsi 68 termes pour la suite, ou faire des “sauts” de 30 par exemple : 9, 39, 69, …189, ou des sauts de 30 à partir de 30 : 30, 60, … 210 et compter les sauts.

- ou bien, noter n le numéro d’une figure et associer à n le nombre de carrés noirs de la figure de rang n. Constater que ce nombre s’écrit 9 + 3(n–1), soit 3n + 6, et calculer le rang correspondant à 210 carrés noirs en résolvant l’équation 3n + 6 = 210. Obtenir n = 68.

- ou bien, observer que si n est le numéro d’une figure, il y a n + 3 carrés noirs sur le côté horizontal de cette figure et n + 2 sur le côté vertical et enfin n + 1 sur le côté oblique, soit entout 3n + 6. En déduire que n = 68 en calculant (210 − 6) / 3.

- ou bien, utiliser une autre procédure algébrique conduisant à la même formule : si n est le numéro d'une figure de la suite, on peut observer que cette figure a un nombre de carrés noirs égal à 2 (n + 3) + n, ce qui donne 3n + 6 et en résolvant l’équation 3n + 6 = 210 on obtient n = 68.

Notions mathématiques

suite, progression arithmétique, nombres naturels, rang, terme, raison, addition, multiplication

Résultats

24.II.12

Points attribués, sur 1877 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (68) avec une explication claire de la stratégie utilisée (par exemple, en indiquant les trois carrés à ajouter d’une figure à l’autre)
• 3 points: Réponse correcte (68) avec une explication incomplète de la stratégie utilisée
• 2 points: Réponse erronée due à une erreur de comptage ou de calcul dans la détermination de 210, mais avec des explications claires
  ou bien réponse correcte sans explication
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple, la progression arithmétique de raison 3 est donnée, mais de 2 à 5 erreurs ou des figures ignorées dans la suite)
• 0 point: Incompréhension du problème