Banque de problèmes du RMT
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Trouver le rang du terme 210 dans la progression arithmétique de premier terme 9 et de raison 3 : 9, 12, 15,… Les trois premiers termes sont définis par le nombre de carrés noirs figurant dans une succession de trois figures formant des ”escaliers”.
analyse de la tâche a priori
- Observer les figures et compter les carrés noirs : 9, 12, 15.
- Remarquer que d’une figure à l’autre, on ajoute 3 carrés noirs et dessiner une quatrième figure (ou plus) pour le vérifier : 9, 12, 15, 18.
- Écrire la suite des nombres de carrés noirs par escalier (progression arithmétique de raison 3) : 9, 12, 15, 18, 21, 24, … et constater qu’il s’agit des multiples de 3, sauf 3 et 6. Calculer 210 – 9 = 201, puis 201/3 = 67 et 67 + 1 = 68.
- Poursuivre l’écriture jusqu’à 210 et compter les termes de la suite : de 1 à 68, ou calculer le nombre des multiples de 3 jusqu’à 210 : 210 / 3 = 70, ne pas compter le 3 et le 6, trouver ainsi 68 termes pour la suite, ou faire des “sauts” de 30 par exemple : 9, 39, 69, …189, ou des sauts de 30 à partir de 30 : 30, 60, … 210 et compter les sauts.
- ou bien, noter n le numéro d’une figure et associer à n le nombre de carrés noirs de la figure de rang n. Constater que ce nombre s’écrit 9 + 3(n–1), soit 3n + 6, et calculer le rang correspondant à 210 carrés noirs en résolvant l’équation 3n + 6 = 210. Obtenir n = 68.
- ou bien, observer que si n est le numéro d’une figure, il y a n + 3 carrés noirs sur le côté horizontal de cette figure et n + 2 sur le côté vertical et enfin n + 1 sur le côté oblique, soit entout 3n + 6. En déduire que n = 68 en calculant (210 − 6) / 3.
- ou bien, utiliser une autre procédure algébrique conduisant à la même formule : si n est le numéro d'une figure de la suite, on peut observer que cette figure a un nombre de carrés noirs égal à 2 (n + 3) + n, ce qui donne 3n + 6 et en résolvant l’équation 3n + 6 = 210 on obtient n = 68.
suite, progression arithmétique, nombres naturels, rang, terme, raison, addition, multiplication
Points attribués, sur 1877 classes de 15 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 187 (19%) | 287 (30%) | 138 (14%) | 56 (6%) | 299 (31%) | 967 | 1.99 |
| Cat 8 | 101 (14%) | 164 (22%) | 121 (16%) | 74 (10%) | 282 (38%) | 742 | 2.37 |
| Cat 9 | 15 (9%) | 26 (15%) | 20 (12%) | 15 (9%) | 92 (55%) | 168 | 2.85 |
| Total | 303 (16%) | 477 (25%) | 279 (15%) | 145 (8%) | 673 (36%) | 1877 | 2.22 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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