Scale

Identificazione

Rally: 24.II.12 ; categorie: 7, 8, 9 ; ambiti: FN, OPN
Famiglie:

• DEN - Contare oggetti o figure
• PRG - Gestire progressioni
• PRG/PA - Gestire progressioni aritmetiche
• SF - Studiare successioni di figure
• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

Trovare la posizione del termine 210 in una progressione aritmetica con primo termine 9 e di ragione 3: 9, 12, 15,… I primi tre termini sono definiti dal numero di quadrati neri di una successione di tre figure formanti delle “scale”.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Osservare le figure e contare i quadrati neri 9, 12, 15.

- Rendersi conto che nel passaggio da una figura all’altra, si aggiungono 3 quadrati neri e disegnare una quarta figura (o più figure) per verificarlo: 9, 12, 15, 18.

- Scrivere la successione dei numeri di quadrati neri per scala (progressione aritmetica di ragione 3): 9, 12, 15, 18, 21, 24,… e constatare che si tratta dei multipli dei 3, salvo 3 e 6. Calcolare 210 – 9 = 201, poi 201/3 = 67 e 67 + 1 = 68.

- Proseguire la scrittura fino a 210 e contare i termini della successione: da 1 a 68, o calcolare il numero dei multipli di 3 fino a 210: 210 / 3 = 70, eliminare il 3 e il 6 ed ottenere così 68 termini per la successione, o fare dei «salti», per esempio di 30, a partire da 9 : 9, 39, 69,…., 189,... o anche a partire da 30: 30, 60, ... , 210 e procedere al conteggio.

Oppure, indicare con n il numero di una figura della successione e associare a n il numero dei quadrati neri della n-esima figura. Constatare che questo numero corrisponde a 9 + 3(n−1), cioè 3n + 6, e calcolare il numero corrispondente alla figura con 210 quadrati neri risolvendo l’equazione 3n + 6 = 210. Ottenere n = 68.

Oppure, osservare che se n è il numero di una figura della successione, ci sono n + 3 cubetti neri sul lato orizzontale di tale figura, n + 2 sul lato verticale e infine n + 1 sul lato obliquo, cioè in tutto 3n + 6. Dedurne che n = 68 calcolando (210−6) / 3.

Oppure, utilizzare un’altra procedura algebrica che conduce alla stessa formula: se n è il numero di una figura della successione, si può osservare che questa figura ha un numero di quadrati neri uguale a 2 (n + 3) + n, cioè 3n + 6, e risolvendo l’equazione 3n + 6 = 210 si ottiene n = 68.

Nozioni matematiche

successioni, progressioni aritmetiche, numeri naturali, posizione, termine, ragione

Risultati

24.II.12

Punteggi attribuiti su 1877 classi di 15 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (68) con spiegazione chiara della strategia utilizzata (per esempio, indicando i tre quadrati da aggiungere da una figura all’altra)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara della strategia utilizzata
• 2 punti: Risposta errata dovuta ad un errore di calcolo o di conteggio nella determinazione di 210, ma con spiegazioni chiare
  oppure risposta corretta senza spiegazione
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente (per es., individuata la progressione aritmetica di ragione 3, ma commessi da 2 a 5 errori o ignorate figure nella successione)
• 0 punto: Incomprensione del problema