Pyramides

Identification

Rallye: 24.F.06 ; catégories: 4, 5 ; domaines: OPN, FN, 3D
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• SF - Etudier des suites de figures

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Résumé

Trouver quels sont les carrés des premiers nombres entiers naturels dont la somme est 204, dans un contexte d’une construction dont les étages sont des cubes disposés en carrés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Interpréter correctement l'image. Comprendre que pour certains cubes on voit trois faces, pour d’autres deux faces, pour d’autres encore une face et qu’il y a des cubes qu’on ne voit pas. Comprendre que chaque étage est formé (à l'exception du dernier) par des cubes assemblés les uns contre les autres de manière à former un carré. Comprendre que le nombre de cubes sur le côté de chaque étage augmente de un quand on passe d’un étage à l’étage immédiatement inférieur.

- Comprendre que pour trouver le nombre de cubes utilisés pour chaque étage, il faut multiplier le nombre de cubes placés sur un côté de l’étage par lui-même.

- Pour trouver le nombre d’étages de la pyramide, procéder par essais : par exemple commencer avec une base de 6 x 6. Puis ajouter 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 et remarquer qu’on n’a pas utilisé assez de cubes. Ajouter un étage 7 x 7 = 49 et réaliser que ça ne suffit toujours pas ; ajouter encore 8 x 8 = 64 et constater qu’alors on a utilisé 204 cubes. Conclure que la tour a huit étages.

- Ou, retirer progressivement de 204 les nombres de cubes utilisés pour chaque étage en commençant par l’étage supérieur jusqu’au 8e niveau et constater alors que tous les cubes ont été utilisés : 204 – 1 = 203 ; 203 – 4 = 199 ; 199 – 9 = 190 … 113 – 49 = 64 ; 64 – 64 = 0

- Ou, comprendre comment calculer le nombre de cubes à chaque étage et procéder à partir du haut vers le bas, et additionner pour atteindre le total de 204 cubes : 1 + 4 = 5; 5 + 9 = 14; 14 + 16 = 30; 30 + 25 = 55; 55 + 36 = 91; 91 + 49 = 140; 140 + 64 = 204.

Notions mathématiques

nombre naturel, carré, somme, perspective, pyramide, cube, suite

Résultats

24.F.06

Points attribués, sur 99 classes de 16 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (8 étages) avec description claire des étapes suivies (les calculs seuls conviennent)
• 3 points: Réponse correcte avec description peu claire ou incomplète, par exemple absence de certains calculs, mais la procédure suivie est compréhensible
  ou réponse erronée due à une seule erreur de calcul mais l’ensemble de la procédure est décrite en détail
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou réponse erronée due à deux erreurs de calcul, avec indications sur la procédure utilisée.
• 1 point: Début de recherche cohérente, par exemple début de calcul des nombres de cubes utilisés aux premiers étages, mais la recherche est inachevée
• 0 point: Incompréhension du problème