La cornicetta di Anna

Identificazione

Rally: 25.II.07 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambito: FN
Famiglie:

• PER - Trattare una successione periodica
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri
• SF - Studiare successioni di figure

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Sunto

Determinare l’area della parte grigia di una decorazione, la cui parte iniziale è disegnata su carta quadrettata e colorata in nero e grigio, conoscendo l’area totale della parte nera dell’intera decorazione.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Osservare il disegno che mostra l’inizio della cornicetta ed eventualmente proseguirlo per capire le regole di costruzione.

- Riconoscere che la zona colorata di nero è formata da 3 quadretti neri visibili in figura e da 6 triangoli neri, ciascuno formato da due mezzi quadretti corrispondenti quindi a un quadretto. Così i 6 triangoli “contano” per 6 quadrati.

- Per determinare il numero totale dei quadretti della parte grigia si può procedere in più modi. Riprodurre su un foglio quadrettato la cornicetta e fermarsi quando si sono contati 58 quadretti neri. Contare poi i quadretti corrispondenti alla parte grigia e trovare che sono 116. Questa procedura è lunga e richiede attenzione nel conteggio dei quadretti.

Oppure,

- rendersi conto che c’è un modulo che si ripete costituito da una striscia verticale di tre quadretti di cui quello in mezzo nero e un’altra striscia verticale di sei quadretti in cui sono presenti due triangoli neri, ciascuno corrispondente ad un quadretto. In tale modulo quindi la parte nera corrisponde in totale a 3 quadretti, mentre la parte grigia corrisponde al doppio, cioè a 6 quadretti.

- Determinare il numero di moduli nella cornicetta finita, cercando il massimo multiplo di 3 inferiore a 58 o utilizzando la divisione con resto di 58 per 3, ed ottenere 19. Rendersi conto che con 19 moduli si arriva a 57 quadretti neri e che c’è quindi da aggiungere un altro quadretto nero. Dedurre che la cornicetta termina con una striscia verticale di un quadretto nero e 2 quadretti grigi.

- Calcolare infine il numero dei quadretti grigi, considerando che ce ne sono 6 in ogni motivo e 2 nella striscia terminale della cornicetta, e trovare che tale numero è 116 (= 6×19+2).

- Ci sono anche altri modi di organizzare la scomposizione della cornicetta e fare i calcoli corrispondenti (per es., partendo dalla figura del testo in cui si “contano” 9 quadretti neri, considerare i multipli di 9, arrivare a 54 e dedurre che, per avere gli altri 4 quadretti mancanti, la cornicetta deve continuare con un modulo completo di 3 quadretti neri e terminare con una striscia verticale di un quadretto nero e 2 grigi).

Oppure (procedura che sottintende un ragionamento di tipo proporzionale),

- osservare che in ogni striscia verticale (costituita da 3 quadretti), la parte nera corrisponde sempre ad un quadretto e quindi la parte grigia sempre al doppio, cioè a 2 quadretti. Di conseguenza sapendo che nella cornicetta finita la zona colorata di nero corrisponde a 58 quadretti, la parte colorata di grigio corrisponderà al suo doppio, cioè a 116 quadretti.

Nozioni matematiche

regio, modulo, serie, area, quadrato, griglia, funzione, numerazione

Risultati

25.II.07

Punteggi attribuiti su 3096 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (116 quadretti) con disegno completo e correttamente colorato della cornicetta o una spiegazione chiara della procedura (determinazione di un modulo ripetuto e descrizione della parte finale della cornicetta, uso della “proporzionalità,... con i calcoli effettuati)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni insufficienti (disegno incompleto, procedimento di calcolo non ben esplicitato, …)
• 2 punti: Risposta errata dovuta ad una non corretta interpretazione della fine della cornicetta
  oppure disegno completo e correttamente colorato, ma un errore di conteggio
  oppure risposta corretta senza disegno né spiegazione
• 1 punto: Risposta errate dovuta ad un disegno errato dei moduli
  oppure inizio di ricerca con determinazione corretta dell’area della parte nera di un modulo
• 0 punto: Incomprensione del problema

Bibliografia

La domanda è ripresa dal problema la decorazione di Carlo (23.I.09).