Le grillon sauteur

Identification

Rallye: 26.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: FN, OPQ
Familles:

• AMQ - Additionner, multiplier, ... comparer, transformer des fractions
• PRG - Traiter des progressions
• PRG/PA - Traiter des progressions arithmétiques

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Résumé

Calculer le premier terme d’une succession de 7 termes dont on connaît le dernier, dans laquelle, à partir du deuxième, un terme vaut respectivement 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; … de plus que le terme précédent.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Comprendre les règles de l’élévation de la barre : après chaque saut elle est montée respectivement d’un demi, d’un tiers, d’un quart, … de la hauteur de la barre précédente.

- Se rendre compte, après 7 sauts, le grillon a passé la barre à 60 cm de hauteur et qu’on est en présence d’une suite de sept hauteurs dont on ne connaît que la dernière (60) et les règles de passage de l’une à l’autre.

- Trois procédures sont à envisager : par essais successifs à partir de valeurs hypothétiques de la barre initiale ; analyse de la situation au moyen d’un dessin qui met en évidence les différentes hauteurs de la barre ; partir de 60 et remonter dans le temps, étape par étape.

- Procéder par essais en faisant une hypothèse sur la hauteur du premier saut. Par exemple 10 et procéder selon les indications : ajouter à 10 la moitié de 10 (5), ce qui donne 15 ; ajouter à 15 le tiers de 15 (5), ce qui donne 20 ; etc. pour arriver à 40 après le septième saut. On arrive ainsi à une hauteur inférieure à 60, mais on peut se rendre compte que l’augmentation d’un saut à l’autre ne change pas (5). Puisque 40 est inférieur à 60, continuer les essais en choisissant un nombre de départ supérieur à 10 (avec 20 on arrive à 80, avec 14 et 16 on arrive è 56 et 64 …) l’essai avec 15 aboutit à 60.

Ou, avec une représentation graphique, de préférence sur papier quadrillé, on met en évidence l’égalité des augmentations de 1/2, 1/3 …1/7, qui valent aussi la moitié de la hauteur de la barre d’origine et montrent que la hauteur finale correspond à 8 fois la moitié de la hauteur du saut initial. Donc en divisant la hauteur finale par 8 on trouve la moitié de la hauteur du saut initial : 7,5. Conclure que la barre a été placée à 15 cm (=7,5×2) au début de la compétition.

Ou, partir de 60, qui est 1/7 de plus que les 7/7 de la hauteur précédente, c’est-à-dire 8/7, calculer la valeur de 1/7 (60 : 8 = 7,5) et de 7/7 (7 × 7,5 = 52,5) qui est la hauteur de la sixième barre, et ainsi de suite pour arriver successivement à 45 ; 37,5 ; 30 ; 22,5 et aboutir à 15.

Ou, par voie algébrique, en désignant par x la hauteur du premier saut, les hauteurs des sept sauts sont :

  x ;  x + 1/2 x = 3/2 x ;  3/2 x + (1/3)(3/2) x = 2x ;  
  2x + (1/4)2 x = 5/2 x ; 3x ; 7/2x  et 4x = 60 => x = 15

Notions mathématiques

moitié, tiers, fraction

Résultats

26.I.14

Sur la base de 2324 classes de 17 sections:

Selon les critères de corrections:

• 4 points: Réponse correcte (15 cm) avec explications claires et complètes (essais explicites avec le détail des calculs, dessin ou progression arithmétique dont la raison est la demi hauteur primitive, ou pose d’une équation et sa résolution)
• 3 points: Réponse correcte (15 cm) avec explications peu claires ou incomplètes (dessin approximatif, un seul essai non détaillé, ou procédure algébrique où il manque quelques passages, …)
  ou réponse correcte avec seulement une vérification (sans mentionner d’essais, seulement avec la liste des sept hauteurs)
  ou réponse erronée due à une seule erreur de calcul, avec explications claires et complètes, comme pour « 4 points ».
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou réponse erronée due à une ou deux erreurs de calcul avec explications peu claires ou incomplètes
• 1 point: Début de recherche cohérente (hauteurs de quelques barres ou quelques essais qui montrent la compréhension de la situation …)
• 0 point: Incompréhension du problème