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Banque de problèmes du RMTfn21-fr |
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Calculer le premier terme d’une succession de 7 termes dont on connaît le dernier, dans laquelle, à partir du deuxième, un terme vaut respectivement 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; … de plus que le terme précédent.
Analyse a priori de la tâche:
- Comprendre les règles de l’élévation de la barre : après chaque saut elle est montée respectivement d’un demi, d’un tiers, d’un quart, … de la hauteur de la barre précédente.
- Se rendre compte, après 7 sauts, le grillon a passé la barre à 60 cm de hauteur et qu’on est en présence d’une suite de sept hauteurs dont on ne connaît que la dernière (60) et les règles de passage de l’une à l’autre.
- Trois procédures sont à envisager : par essais successifs à partir de valeurs hypothétiques de la barre initiale ; analyse de la situation au moyen d’un dessin qui met en évidence les différentes hauteurs de la barre ; partir de 60 et remonter dans le temps, étape par étape.
- Procéder par essais en faisant une hypothèse sur la hauteur du premier saut. Par exemple 10 et procéder selon les indications : ajouter à 10 la moitié de 10 (5), ce qui donne 15 ; ajouter à 15 le tiers de 15 (5), ce qui donne 20 ; etc. pour arriver à 40 après le septième saut. On arrive ainsi à une hauteur inférieure à 60, mais on peut se rendre compte que l’augmentation d’un saut à l’autre ne change pas (5). Puisque 40 est inférieur à 60, continuer les essais en choisissant un nombre de départ supérieur à 10 (avec 20 on arrive à 80, avec 14 et 16 on arrive è 56 et 64 …) l’essai avec 15 aboutit à 60.
Ou, avec une représentation graphique, de préférence sur papier quadrillé, on met en évidence l’égalité des augmentations de 1/2, 1/3 …1/7, qui valent aussi la moitié de la hauteur de la barre d’origine et montrent que la hauteur finale correspond à 8 fois la moitié de la hauteur du saut initial. Donc en divisant la hauteur finale par 8 on trouve la moitié de la hauteur du saut initial : 7,5. Conclure que la barre a été placée à 15 cm (=7,5×2) au début de la compétition.
Ou, partir de 60, qui est 1/7 de plus que les 7/7 de la hauteur précédente, c’est-à-dire 8/7, calculer la valeur de 1/7 (60 : 8 = 7,5) et de 7/7 (7 × 7,5 = 52,5) qui est la hauteur de la sixième barre, et ainsi de suite pour arriver successivement à 45 ; 37,5 ; 30 ; 22,5 et aboutir à 15.
Ou, par voie algébrique, en désignant par x la hauteur du premier saut, les hauteurs des sept sauts sont :
x ; x + 1/2 x = 3/2 x ; 3/2 x + 1/3+3/2 x = 2x ; 2x + 1/4+2 x = 5/2 x ; 3x ; 7/2x et 4x = 60 => x = 15
moitié, tiers, fraction
Sur la base de 2324 classes de 17 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 7 | 616 (54%) | 138 (12%) | 99 (9%) | 146 (13%) | 141 (12%) | 1140 | 1.17 |
Cat 8 | 298 (38%) | 131 (17%) | 65 (8%) | 129 (17%) | 158 (20%) | 781 | 1.64 |
Cat 9 | 68 (33%) | 32 (15%) | 17 (8%) | 36 (17%) | 54 (26%) | 207 | 1.88 |
Cat 10 | 51 (26%) | 38 (19%) | 18 (9%) | 25 (13%) | 64 (33%) | 196 | 2.07 |
Total | 1033 (44%) | 339 (15%) | 199 (9%) | 336 (14%) | 417 (18%) | 2324 | 1.47 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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