Escaliers de cure-dents

Identification

Rallye: 27.I.10 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: FN, OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• SN - Traiter une suite numérique
• SN/REC - Identifier ou utiliser ou une relation de récurrence

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer les éléments de la suite 4 ; 10 ; 18 ; 28 … correspondant aux segments nécessaires pour réaliser des figures « en escalier » construites en assemblant des carrés (3 figures sont données) et découvrir quel est l’ordre de l’élément de cette suite qui précède ou égale 150.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer les trois figures données, percevoir leur propriété commune « en escalier ». Imaginer les autres « escaliers », de 3 marches, de 5 marches, etc.

- Comprendre que les cure-dents dont parle l’énoncé sont les côtés de chaque petit carré qui composent les figures, que dans certaines cas un même cure-dent constitue un côté de deux petits carrés.

- Vérifier ensuite que l'escalier d’une marche (le petit carré isolé) est formé de 4 cure-dents, celui de deux marches est formé avec 10 cure-dents, puis dénombrer les cure-dents qui forment l’escalier de quatre marches : 18. Passer ensuite à la recherche de l’escalier le plus haut qu’on peut construire entièrement avec les 150 cure-dents de la boîte.

- Dessiner ou construire les « escaliers » de 5 ; 6 ; 7 ; … marches et dénombrer les cure-dents nécessaires : 40 ; 54 ; 70 ; … pour arriver à 130 cure-dents pour l’escalier de 10 marches et constater qu’il faudrait 154 cure-dents pour l’escalier de 11 marches, qu’il ne sera pas possible de construire entièrement.

Ou

- Établir une correspondance entre les nombres de marches et les nombres de cure-dents et chercher comment passer d’un terme au suivant de la succession des nombres de cure-dents sans devoir dessiner ou construire les escaliers.

Remarque : Il s’agit ici d’un tableau de valeurs de la fonction : nombre d’étages → nombre de cure-dents (de N dans N), où la règle de passage d’un terme au suivant est « à partir de 4, additionner au terme précèdent 6, puis 8, puis 10 … et où la formule pour passer directement du nombre de marches n au nombre de cure-dents est n → n(n + 3).

Notions mathématiques

nombre naturel, dénombrement, suite, progression, récurrence

Résultats

27.I.10

Points attribués sur 3604 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (10 marches) avec dessin de la construction et écriture du nombre de cure-dents (130) ou description de la démarche (règle de formation de la suite ou relation entre nombre de marches et nombre de cure-dents) et justification qu’on ne peut pas construire l’escalier de 11 marches car il faudrait 154 cure-dents
• 3 points: Réponse correcte avec dessin ou description de la démarche, sans la justification de l’impossibilité de construire un escalier de 11 marches ou sans le nombre de cure-dents (130) nécessaires pour les 10 marches
  ou réponse 10 marches avec dessin ou explication mais une erreur dans le nombre de cure-dents nécessaires
  ou réponse 130 cure-dents sans mentionner le nombre de marches mais avec un dessin ou une description de la démarche
  ou réponse 11 marches avec dessin correct en mentionnant explicitement qu’il manque 4 cure-dents pour la réalisation
• 2 points: Réponse correcte sans explications ou sans la liste exhaustive des couples (nombre de marches, nombre de cure-dents) jusqu’à (10, 130) ou sans la règle de formation de la suite ou sans la relation entre nombre de marches et nombre de cure-dents
  ou réponse erronée 11 marches avec dessin sans mentionner qu’il manque 4 cure-dents
  ou réponse 130 cure-dents avec description incomplète de la démarche
  ou erreurs dans le comptage des cure-dents aboutissant à des escaliers de 8 ou 9 marches
• 1 point: Réponse erronée ou absence de réponse mais dessins de quelques escaliers attestant de la compréhension de la situation
  ou réponse 5 marches (ou 100 cure-dents) pour la construction des six premiers escaliers (4 + 10 + 18 + 28 + 40 = 100) en pensant qu’il faut les construire tous et qu’il manquerait des cure-dents pour l’escalier suivant (54)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Avec 45 % de 0 pt et 15 % de réponses erronées, le problème paraît difficile. L’examen de copies permettra de savoir savoir comment les élèves ont organisé la suite des escaliers puis le comptage des cure dents puis la détermination des marches.

Exploitations didactiques

Les exploitations didactiques de ce problème semblent prometteuses, pour la façon de dénombrer les cure-dents et pour la récurrence (la règle de passage d’un terme de la suite au suivant).

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