Scale di stuzzicadenti

Identificazione

Rally: 27.I.10 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: FN, OPN
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• SN - Gestire una successione numerica
• SN/REC - Identificare o utilizzare una relazione di ricorrenza

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Sunto

Determinare gli elementi della successione 4; 10; 18; 28 ... che corrispondono ai segmenti necessari per realizzare figure «in scala» costruite unendo dei quadrati (sono date tre figure) e scoprire qual è l'ordine dell'elemento di questa successione che è minore o uguale a 150.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Osservare le tre figure date, individuare la loro proprietà comune "in scala". Immaginare le altre "scale", di 3 gradini, di 5 gradini, ecc...

- Comprendere che gli stuzzicadenti di cui parla l'enunciato sono i lati di ogni piccolo quadrato che compone le figure e che certe volte uno stesso stuzzicadente costituisce un lato di due piccoli quadrati.

- Verificare poi che la scala di un gradino (il piccolo quadrato isolato) è formata con 4 stuzzicadenti, quella di due gradini è formata da 10 stuzzicadenti, poi contare gli stuzzicadenti che formano la scala di quattro gradini: 28. Passare poi alla ricerca della scala più alta che si può costruire interamente coi 150 stuzzicadenti della scatola.

- Disegnare o costruire le " scale" di 5; 6; 7; ... gradini e trovare un metodo che permetta di contare gli stuzzicadenti necessari senza ripetizioni: 40; 54; 70; ... per arrivare a 130 stuzzicadenti per la scala di 10 gradini e constatare che occorrerebbero 154 stuzzicadenti per la scala di 11 gradini, che non sarà possibile costruire interamente.

Oppure:

- stabilire una corrispondenza tra i numeri di gradini ed i numeri di stuzzicadenti e cercare il modo per passare da un termine al successivo nella sequenza dei numeri di stuzzicadenti senza dover disegnare o costruire le scale

- Osservazione: si tratta qui di una tabella di valori della funzione: n° di piani ––> n° di stuzzicadenti (di N in N), dove la regola di passaggio da un termine al successivo è “a partire da 4, addizionare al termine precedente 6, poi 8, poi 10 ...” e dove la formula per passare direttamente dal numero di gradini n al numero di stuzzicadenti è n ––> n(n + 3).

Nozioni matematiche

numero naturale, conteggio, serie, progressione, ricorrenza

Risultati

27.I.10

Punti attribuiti su 3604 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta (10 gradini) con disegno della costruzione e scrittura del numero di stuzzicadenti (130) o descrizione della procedura (regola della formazione della successione ovvero corrispondenza tra il numero dei gradini e il numero di stuzzicadenti) e constatazione che non si può costruire la scala di 11 gradini perché occorrerebbero 154 stuzzicadenti
• 3 punti: Risposta corretta con disegno o descrizione della procedura, senza la giustificazione dell'impossibilità di costruire una
scala di 11 gradini o senza il numero di stuzzicadenti (130) necessari per i 10 gradini oppure risposta 10 gradini con disegno o spiegazione ma un errore nel numero di stuzzicadenti necessari
oppure risposta 130 stuzzicadenti senza menzionare il numero di gradini ma con un disegno o descrizione della procedura oppure e risposta 11 gradini con disegno corretto, scrivendo esplicitamente che mancano 4 stuzzicadenti per la realizzazione
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazioni oppure senza l’elenco completo delle coppie (numero dei gradini, numero degli stuzzicadenti) fino a (10, 130) oppure senza la regola di formazione della successione oppure senza la relazione tra il numero dei gradini e il numero degli stuzzicadenti.
  oppure risposta errata 11 gradini con disegno senza nominare che ci mancano 4 stuzzicadenti.
  oppure risposta 130 stuzzicadenti con descrizione incompleta della procedura
  oppure errore nel conteggio degli stuzzicadenti che conduce a scale di 8 o 9 gradini
• 1 punto: Risposta errata o assenza di risposta ma disegno di qualche scala che attesti la comprensione della situazione
  oppure risposta 5 gradini (o 100 stuzzicadenti) per la costruzione delle prime sei scale (4 + 10 + 18 + 28 + 40 = 100) pensando che si debbano costruire tutte e che mancheranno degli stuzzicadenti per la scala seguente (54)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Avec 45 % de 0 pt et 15 % de réponses erronées, le problème paraît difficile. L’examen de copies permettra de savoir savoir comment les élèves ont organisé la suite des escaliers puis le comptage des cure dents puis la détermination des marches.

Indicazioni didattiche

Les exploitations didactiques de ce problème semblent prometteuses, pour la façon de dénombrer les cure-dents et pour la récurrence (la règle de passage d’un terme de la suite au suivant).