Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de termes d’une suite arithmétique connaissant le premier et le dernier terme (10 et 73) et le fait que la raison est entière.
Analyse a priori:
- Comprendre la modalité d’exécution du programme de pompes : le premier jour 10 pompes, le deuxième 10 + n (avec n nombre inconnu), le troisième 10 + n + n, et ainsi de suite jusqu’au jour des 73 pompes.
- Se rendre compte que le nombre de jours durant lesquels Marc a exécuté son programme est égal au nombre p de fois qu’il a ajouté n pompes aux 10 pompes du premier jour, augmenté de 1 (le premier jour)
- Comprendre qu’il faut déterminer deux nombres naturels p et n dont le produit est p × n = 63 (73−10) et que par conséquent ces nombres sont déterminés par la décomposition de 63 en produit de 2 facteurs.
- Compte tenu qu’il a commencé son programme depuis plus d’une semaine (p ≥ 7) et vu que 63, 21, 9 ,7 ,3 et 1 sont les seuls diviseurs de 63 les seuls couples (p ; n) possibles sont :
n = 1 et p = 63, n = 3 et p = 21, n = 7 et p = 9, n = 9 et p = 7.
- Conclure que Marc a exécuté son programme de pompes en 64 (= 63+1) jours, ou en 22 (= 21+1) jours ou en 10 (= 9+1) jours ou en 8 (= 7+1) jours, ajoutant respectivement 1, 3, 7 ou 9 pompes de plus chaque jour.
Ou
- Procéder par essais en partant de 10 pompes, pour atteindre 73 pompes en plus de 7 jours, en essayant successivement toutes les suites possibles (raison 1, 2, 3…9) en écartant éventuellement les raisons paires…
Ou
- Remarquer que pour augmenter de 63 pompes, on peut procéder avec des multiples de 3. Essayer avec 3, et constater qu’en 21 étapes on arrive à la solution 22 jours.
- Puis essayer 9 qui convient avec 7 étapes (donc 8 jours) et penser à la commutativité de la multiplication et essayer 7 qui convient avec 9 étapes (donc 10 jours).
- Remarquer que les autres produits obtenus par commutativité donnent des programmes qui sont inférieurs à une semaine.
- Par cette méthode on ne peut pas être certain de trouver toutes les solutions possibles à moins de vérifier que les essais pour un nombre de pompes égal à 2, 4, 5, 6 et 8 ne conviennent pas.
nombre naturel, suite, raison, progression, terme
Points attribués sur 208 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 7 (8%) | 21 (24%) | 18 (21%) | 22 (26%) | 18 (21%) | 86 | 2.27 |
| Cat 8 | 5 (7%) | 10 (14%) | 16 (23%) | 19 (28%) | 19 (28%) | 69 | 2.54 |
| Cat 9 | 2 (8%) | 2 (8%) | 6 (23%) | 6 (23%) | 10 (38%) | 26 | 2.77 |
| Cat 10 | 0 (0%) | 8 (30%) | 3 (11%) | 6 (22%) | 10 (37%) | 27 | 2.67 |
| Total | 14 (7%) | 41 (20%) | 43 (21%) | 53 (25%) | 57 (27%) | 208 | 2.47 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
(c) ARMT, 2019-2024